Sejam u e v vetores não nulos e k in R^*. Sabendo que
u=k v
determine os possíveis valores de k para que:
|u|=|v| K asymp v cdot s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores possíveis de que satisfazem a condição , sabendo que . Aqui, estamos lidando com vetores e normas (ou comprimentos) de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como a norma de um vetor muda quando ele é multiplicado por um escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor |kw| = |k| cdot |w| , representada por , é basicamente o comprimento desse vetor. Quando um vetor é multiplicado por um escalar , a norma do novo vetor é igual ao valor absoluto de vezes a norma de . Ou seja:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos |u| = |k v| = |k| cdot |v| . Então, a norma de será:

Passo 4

De acordo com o enunciado, queremos que |k| cdot |v| = |v| . Substituindo a expressão que encontramos:
|k| = 1
Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por , que sabemos ser diferente de zero porque os vetores são não nulos:

Passo 5

A equação nos diz que o valor absoluto de é igual a 1. Isso significa que pode ser 1 ou -1, já que ambos têm valor absoluto igual a 1.

Resposta

Os possíveis valores de são e .

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