Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por uma parametrização. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nessas equações,
e
são expressos em termos de
, que varia de
a
. Nosso objetivo é eliminar
e obter uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar isolando
e
em cada uma das equações:
-
Da equação de
: -
Da equação de
:
Passo 4
Agora, lembramos de uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona
e
:
Vamos substituir as expressões que encontramos para
e
nessa identidade.
Passo 5
Substituindo:
Isso já é uma forma da equação reduzida, mas vamos escrever de maneira mais familiar para cônicas.
Passo 6
Escrevendo de forma padrão, temos:
Aqui, percebemos que essa é a equação de uma elipse centrada no ponto
, com semi-eixos de comprimento 1 na direção
e 3 na direção
.
Resposta
A equação reduzida da cônica é:
Exercícios relacionados
Dado o ponto
e o plano
de equação
, qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
?
Calcule a distância do ponto
ao foco da cônica definida pela equação
Seja
o plano de equação
oplano de equação
a reta cuja equação vetorial paramétrica é
, e
a reta cujas equações simétricas são
. Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta
é igual a 5 .
Escolher…
As retas e
são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano
é igual a 4 .
Escolher.
A reta está contida no plano
.
Escolher…
A reta é concorrente com o plano
.
A distância da reta
Escolher…
As retas
Escolher…
A distância do plano
Escolher.
A reta
Escolher…
A reta
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).