Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por uma parametrização. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nessas equações, e são expressos em termos de , que varia de a . Nosso objetivo é eliminar e obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar isolando e em cada uma das equações:
  1. Da equação de :
  2. Da equação de :

Passo 4

Agora, lembramos de uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona e :
Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa identidade.

Passo 5

Substituindo:
Isso já é uma forma da equação reduzida, mas vamos escrever de maneira mais familiar para cônicas.

Passo 6

Escrevendo de forma padrão, temos:
Aqui, percebemos que essa é a equação de uma elipse centrada no ponto , com semi-eixos de comprimento 1 na direção e 3 na direção .

Resposta

A equação reduzida da cônica é:

Exercícios relacionados

Dado o ponto e o plano de equação , qual dos pontos listados abaixo é o ponto do plano que está mais próximo do ponto ?
Calcule a distância do ponto ao foco da cônica definida pela equação
Seja o plano de equação oplano de equação a reta cuja equação vetorial paramétrica é , e a reta cujas equações simétricas são . Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta é igual a 5 .
Escolher…
As retas e são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano é igual a 4 .
Escolher.

A reta está contida no plano .
Escolher…
A reta é concorrente com o plano .
Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).