Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por uma parametrização. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nessas equações,
e
são expressos em termos de
, que varia de
a
. Nosso objetivo é eliminar
e obter uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar isolando
e
em cada uma das equações:
-
Da equação de
: -
Da equação de
:
Passo 4
Agora, lembramos de uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona
e
:
Vamos substituir as expressões que encontramos para
e
nessa identidade.
Passo 5
Substituindo:
Isso já é uma forma da equação reduzida, mas vamos escrever de maneira mais familiar para cônicas.
Passo 6
Escrevendo de forma padrão, temos:
Aqui, percebemos que essa é a equação de uma elipse centrada no ponto
, com semi-eixos de comprimento 1 na direção
e 3 na direção
.
Resposta
A equação reduzida da cônica é: