Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+cos (theta) y(theta)=2+3 cdot sen(theta), theta in[0,2 cdot pi)
Obtenha a equação reduzida da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por uma parametrização. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as equações paramétricas que nos foram dadas:
C:l x(theta)=1+cos (theta) y(theta)=2+3 cdot sen(theta), theta in[0,2 cdot pi)
Nessas equações, e são expressos em termos de , que varia de a . Nosso objetivo é eliminar e obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar isolando x = 1 + cos(theta) Rightarrow cos(theta) = x - 1 e y = 2 + 3sin(theta) Rightarrow sin(theta) = y - 23 em cada uma das equações:
  1. Da equação de :
  2. Da equação de :

Passo 4

Agora, lembramos de uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 e :
Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa identidade.

Passo 5

Substituindo:
(x - 1)^2 + (y - 23)^2 = 1
Isso já é uma forma da equação reduzida, mas vamos escrever de maneira mais familiar para cônicas.

Passo 6

Escrevendo de forma padrão, temos:
(x - 1)^21 + (y - 2)^29 = 1
Aqui, percebemos que essa é a equação de uma elipse centrada no ponto , com semi-eixos de comprimento 1 na direção e 3 na direção .

Resposta

A equação reduzida da cônica é:
(x - 1)^21 + (y - 2)^29 = 1

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