Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma cônica definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é descrever essa cônica detalhando seus elementos principais, como focos e vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano. Também vamos usar conhecimentos de geometria analítica para identificar e caracterizar a cônica.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Olhando para as equações paramétricas:
Perceba que tanto o quanto o estão relacionados a uma circunferência, mas os coeficientes e constantes sugerem que estamos lidando com uma elipse deslocada.
Passo 3
Vamos transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana para facilitar a identificação dos elementos da elipse. Sabemos que:
Como , substituímos:
Essa é a equação padrão de uma elipse com centro em , eixo maior vertical e comprimento dos eixos determinado pelos coeficientes.
Passo 4
Identificando os parâmetros da elipse:
A equação padrão de uma elipse é:
Onde é o centro, é o semi-eixo maior, e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:
Vemos que , , e .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior é vertical (porque ), os vértices estão acima e abaixo do centro:
Vértice superior:
Vértice inferior:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Os focos estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro:
Foco superior:
Foco inferior:
Passo 7
Por fim, os eixos da elipse são:
Eixo maior: vertical, com comprimento
Eixo menor: horizontal, com comprimento
Resposta
A cônica é uma elipse com centro em , vértices em e , focos em e . O eixo maior é vertical com comprimento 6, e o eixo menor é horizontal com comprimento 2.