Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+cos (theta) y(theta)=2+3 cdot sen(theta), theta in[0,2 cdot pi)
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma cônica definida pelas equações paramétricas:
C:l x(theta)=1+cos (theta) y(theta)=2+3 cdot sen(theta), theta in[0,2 cdot pi)
Nosso objetivo é descrever essa cônica detalhando seus elementos principais, como focos e vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano. Também vamos usar conhecimentos de geometria analítica para identificar e caracterizar a cônica.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Olhando para as equações paramétricas:
x(theta) = 1 + cos(theta)
y(theta) = 2 + 3sin(theta)
Perceba que tanto o quanto o estão relacionados a uma circunferência, mas os coeficientes e constantes sugerem que estamos lidando com uma elipse deslocada.

Passo 3

Vamos transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana para facilitar a identificação dos elementos da elipse. Sabemos que:
cos(theta) = x - 1
sin(theta) = y - 23
Como (x - 1)^2 + (y - 23)^2 = 1 , substituímos:
Essa é a equação padrão de uma elipse com centro em , eixo maior vertical e comprimento dos eixos determinado pelos coeficientes.

Passo 4

Identificando os parâmetros da elipse:
A equação padrão de uma elipse é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Onde (x - 1)^2 + (y - 23)^2 = 1 é o centro, é o semi-eixo maior, e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:
Vemos que , , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior é vertical (porque ), os vértices estão acima e abaixo do centro:
Vértice superior:
Vértice inferior:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a relação c = raiz3^2 - 1^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2 :
Os focos estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro:
Foco superior:
Foco inferior:

Passo 7

Por fim, os eixos da elipse são:
  • Eixo maior: vertical, com comprimento
  • Eixo menor: horizontal, com comprimento

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em , vértices em e , focos em e . O eixo maior é vertical com comprimento 6, e o eixo menor é horizontal com comprimento 2.

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