Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma cônica definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é descrever essa cônica detalhando seus elementos principais, como focos e vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano. Também vamos usar conhecimentos de geometria analítica para identificar e caracterizar a cônica.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Olhando para as equações paramétricas:
Perceba que tanto o quanto o estão relacionados a uma circunferência, mas os coeficientes e constantes sugerem que estamos lidando com uma elipse deslocada.

Passo 3

Vamos transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana para facilitar a identificação dos elementos da elipse. Sabemos que:
Como , substituímos:
Essa é a equação padrão de uma elipse com centro em , eixo maior vertical e comprimento dos eixos determinado pelos coeficientes.

Passo 4

Identificando os parâmetros da elipse:
A equação padrão de uma elipse é:
Onde é o centro, é o semi-eixo maior, e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:
Vemos que , , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior é vertical (porque ), os vértices estão acima e abaixo do centro:
Vértice superior:
Vértice inferior:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a relação :
Os focos estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro:
Foco superior:
Foco inferior:

Passo 7

Por fim, os eixos da elipse são:
  • Eixo maior: vertical, com comprimento
  • Eixo menor: horizontal, com comprimento

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em , vértices em e , focos em e . O eixo maior é vertical com comprimento 6, e o eixo menor é horizontal com comprimento 2.

Exercícios relacionados

Seja o plano de equação oplano de equação a reta cuja equação vetorial paramétrica é , e a reta cujas equações simétricas são . Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta é igual a 5 .
Escolher…
As retas e são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano é igual a 4 .
Escolher.

A reta está contida no plano .
Escolher…
A reta é concorrente com o plano .
Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Dados o plano de equação ,
o plano de equação ,
a reta cujas equações paramétricas são

e a reta cujas equações paramétricas são

indique abaixo as posições relativas entre os seguintes elementos:
Os planos e
A reta e o plano
.
A reta e o plano
A reta e o plano
.
Escolher…
As retas e
Escolher…
Seja a elipse dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O vértice da parábola é o foco da elipse mais próximo do ponto .
(P.2) A diretriz da parábola é o eixo y .