Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma cônica definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é descrever essa cônica detalhando seus elementos principais, como focos e vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano. Também vamos usar conhecimentos de geometria analítica para identificar e caracterizar a cônica.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Olhando para as equações paramétricas:
Perceba que tanto o
quanto o
estão relacionados a uma circunferência, mas os coeficientes e constantes sugerem que estamos lidando com uma elipse deslocada.
Passo 3
Vamos transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana para facilitar a identificação dos elementos da elipse. Sabemos que:
Como
, substituímos:
Essa é a equação padrão de uma elipse com centro em
, eixo maior vertical e comprimento dos eixos determinado pelos coeficientes.
Passo 4
Identificando os parâmetros da elipse:
A equação padrão de uma elipse é:
Onde
é o centro,
é o semi-eixo maior, e
é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:
Vemos que
,
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como o eixo maior é vertical (porque
), os vértices estão acima e abaixo do centro:
Vértice superior:
Vértice inferior:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Os focos estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro:
Foco superior:
Foco inferior:
Passo 7
Por fim, os eixos da elipse são:
- Eixo maior: vertical, com comprimento
- Eixo menor: horizontal, com comprimento
Resposta
A cônica é uma elipse com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
. O eixo maior é vertical com comprimento 6, e o eixo menor é horizontal com comprimento 2.