Seja o plano de equação oplano de equação a reta cuja equação vetorial paramétrica é , e a reta cujas equações simétricas são . Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta à reta é igual a 5 .
Escolher…
As retas e são reversas.
Escolher…
A distância do plano ao plano é igual a 4 .
Escolher.

A reta está contida no plano .
Escolher…
A reta é concorrente com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem dois planos, duas retas e algumas afirmações para verificar se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria no espaço, como calcular distância entre retas e planos, determinar se retas são paralelas ou se cruzam, e verificar se uma reta está contida ou intersecta um plano. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as retas e . A reta está dada de forma paramétrica:

Isso significa que o vetor diretor de é .
A reta está dada em forma simétrica:

Aqui, o vetor diretor de é .
Para verificar se as retas são paralelas, concorrentes (se cruzam) ou skew (não são nem paralelas nem concorrentes), compararemos seus vetores diretores.
Vamos calcular se os vetores são múltiplos um do outro. Se não forem múltiplos, as retas não são paralelas.
Vemos que não existe um número tal que , portanto, as retas não são paralelas.
Agora, para verificar se as retas se cruzam, vamos tentar encontrar um ponto que pertence às duas retas. Resolveríamos o sistema de equações paramétricas, mas isso pode ser complicado. Uma alternativa mais simples é calcular a distância entre as retas e ver se é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre as retas e . A fórmula para a distância entre duas retas no espaço é:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas.
  • e são pontos das retas e , respectivamente.
Vamos calcular o produto vetorial :
Agora, o módulo desse produto vetorial:
Escolhemos pontos das retas: e .
Calculamos o vetor .
Agora, o produto escalar :
Finalmente, a distância:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a distância entre os planos e . As equações dos planos são:
  • :
  • :
Primeiro, notamos que os planos têm os mesmos coeficientes para , e , então eles são paralelos. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos é:
Onde as equações dos planos são e .
Aqui, e , e , , .
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos verificar se a reta está contida no plano . Para isso, pegamos as equações de e substituímos na equação do plano .
A parametrização de é .
Substituindo na equação de :
Obtemos , que é sempre verdadeiro, indicando que todos os pontos de satisfazem a equação de . Portanto, a reta está contida no plano .

Passo 6

Por último, vamos verificar se a reta é concorrente com o plano . Ou seja, se há algum ponto de que pertence a .
A reta está dada pelas equações simétricas:
Então, sua parametrização é .
Substituindo na equação de :
Novamente, obtemos , o que significa que todos os pontos de satisfazem a equação de . Portanto, a reta está contida no plano e, consequentemente, é concorrente com ele.

Resposta

  1. A distância da reta à reta é igual a 5.
    Falso. A distância calculada foi 4.
  2. As retas e são reversas.
    Falso. As retas são contidas em planos paralelos e, portanto, não são reversas.
  3. A distância do plano ao plano é igual a 4.
    Verdadeiro.
  4. A reta está contida no plano .
    Verdadeiro.
  5. A reta é concorrente com o plano .
    Verdadeiro.

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Dados o plano de equação ,
o plano de equação ,
a reta cujas equações paramétricas são

e a reta cujas equações paramétricas são

indique abaixo as posições relativas entre os seguintes elementos:
Os planos e
A reta e o plano
.
A reta e o plano
A reta e o plano
.
Escolher…
As retas e
Escolher…