Seja alpha o plano de equação x+2 y-2 z+7=0, beta oplano de equação x+2 y-2 z-5=0, r1 a reta cuja equação vetorial paramétrica é (x, y, z)=(1,1,5)+(2,-3,-2) t, e r2 a reta cujas equações simétricas são x-5-4=y-13=z-11. Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:
A distância da reta r1 à reta r2 é igual a 5 .
Escolher…
As retas r1 e r2 são reversas.
Escolher… <=
A distância do plano alpha ao plano beta é igual a 4 .
Escolher.
sim
A reta r1 está contida no plano alpha.
Escolher… sim
A reta r2 é concorrente com o plano beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem dois planos, duas retas e algumas afirmações para verificar se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria no espaço, como calcular distância entre retas e planos, determinar se retas são paralelas ou se cruzam, e verificar se uma reta está contida ou intersecta um plano. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as retas r1 e r2. A reta r1 está dada de forma paramétrica:
(x, y, z) = (1,1,5) + t(2,-3,-2)
Isso significa que o vetor diretor de r1 é v1 = (2, -3, -2).
A reta r2 está dada em forma simétrica:
x-5-4 = y-13 = z-11
Aqui, o vetor diretor de r2 é v2 = (-4, 3, 1).
Para verificar se as retas são paralelas, concorrentes (se cruzam) ou skew (não são nem paralelas nem concorrentes), compararemos seus vetores diretores.
Vamos calcular se os vetores são múltiplos um do outro. Se não forem múltiplos, as retas não são paralelas.
Vemos que não existe um número k tal que (2, -3, -2) = k(-4, 3, 1), portanto, as retas não são paralelas.
Agora, para verificar se as retas se cruzam, vamos tentar encontrar um ponto que pertence às duas retas. Resolveríamos o sistema de equações paramétricas, mas isso pode ser complicado. Uma alternativa mais simples é calcular a distância entre as retas e ver se é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre as retas r1 e r2. A fórmula para a distância entre duas retas no espaço é:
d = |v1 times v2 cdot P2 - P1||v1 times v2|
Onde:
  • v1 e v2 são os vetores diretores das retas.
  • P1 e P2 são pontos das retas r1 e r2, respectivamente.
Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2:
v1 times v2 = i & j & k 2 & -3 & -2 -4 & 3 & 1 = ( (-3)(1) - (-2)(3) )i - ( 2(1) - (-2)(-4) )j + ( 2(3) - (-3)(-4) )k = (-3 +6)i - (2 -8)j + (6 -12)k = (3)i - (-6)j + (-6)k = (3,6,-6)
Agora, o módulo desse produto vetorial:
|v1 times v2| = raiz3^2 + 6^2 + (-6)^2 = raiz9 + 36 + 36 = raiz81 = 9
Escolhemos pontos das retas: P1 = (1,1,5) e P2 = (5,1,1).
Calculamos o vetor P2 - P1 = (5-1, 1-1, 1-5) = (4,0,-4).
Agora, o produto escalar v1 times v2 cdot (P2 - P1):
(3,6,-6) cdot (4,0,-4) = 3 times 4 + 6 times 0 + (-6) times (-4) = 12 + 0 + 24 = 36
Finalmente, a distância:
d = |36|9 = 4

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a distância entre os planos alpha e beta. As equações dos planos são:
  • alpha: x + 2y - 2z + 7 = 0
  • beta: x + 2y - 2z - 5 = 0
Primeiro, notamos que os planos têm os mesmos coeficientes para x, y e z, então eles são paralelos. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2
Onde as equações dos planos são Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0.
Aqui, D1 = 7 e D2 = -5, e A=1, B=2, C=-2.
Calculando:
d = |-5 - 7|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 12raiz1 + 4 + 4 = 123 = 4

Passo 5

Agora, vamos verificar se a reta r1 está contida no plano alpha. Para isso, pegamos as equações de r1 e substituímos na equação do plano alpha.
A parametrização de r1 é (x, y, z) = (1 + 2t, 1 - 3t, 5 - 2t).
Substituindo na equação de alpha:
(1 + 2t) + 2(1 - 3t) - 2(5 - 2t) + 7 = 0 1 + 2t + 2 - 6t -10 + 4t +7 = 0 (2t -6t +4t) + (1+2-10+7) = 0 0t +0 =0
Obtemos 0=0, que é sempre verdadeiro, indicando que todos os pontos de r1 satisfazem a equação de alpha. Portanto, a reta r1 está contida no plano alpha.

Passo 6

Por último, vamos verificar se a reta r2 é concorrente com o plano beta. Ou seja, se há algum ponto de r2 que pertence a beta.
A reta r2 está dada pelas equações simétricas:
x-5-4 = y-13 = z-11 = t
Então, sua parametrização é (x, y, z) = (5 -4t, 1 +3t, 1 + t).
Substituindo na equação de beta:
(5 -4t) + 2(1 +3t) - 2(1 + t) -5 = 0 5 -4t +2 +6t -2 -2t -5 =0 ( -4t +6t -2t ) + (5+2-2-5) =0 0t +0=0
Novamente, obtemos 0=0, o que significa que todos os pontos de r2 satisfazem a equação de beta. Portanto, a reta r2 está contida no plano beta e, consequentemente, é concorrente com ele.

Resposta

  1. A distância da reta r1 à reta r2 é igual a 5.
    Falso. A distância calculada foi 4.
  2. As retas r1 e r2 são reversas.
    Falso. As retas são contidas em planos paralelos e, portanto, não são reversas.
  3. A distância do plano alpha ao plano beta é igual a 4.
    Verdadeiro.
  4. A reta r1 está contida no plano alpha.
    Verdadeiro.
  5. A reta r2 é concorrente com o plano beta.
    Verdadeiro.

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