Dados o plano alpha de equação x+y+z-3=0,
o plano beta de equação x-3 y+z+1=0,
a reta r1 cujas equações paramétricas são
r1:lx=1+4 t y=1 z=1-4 t
e a reta r2 cujas equações paramétricas são
r2:lx=1+2 lambda y=1+lambda z=2-3 lambda
indique abaixo as posições relativas entre os seguintes elementos:
Os planos alpha e beta
A reta r2 e o plano
alpha.
A reta r2 e o plano
A reta r1 e o plano
beta.
Escolher… stackrelharpoonupsquare
As retas r1 e r2
Escolher… sim

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de geometria no espaço. A questão pede para determinar as posições relativas entre dois planos ( alpha e beta) e duas retas ( r1 e r2) dadas suas equações. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como paralelismo, incidência e intersecção entre planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os planos alpha e beta. As equações dos planos são:
  • Plano alpha: x + y + z - 3 = 0
  • Plano beta: x - 3y + z + 1 = 0
Para entender a posição relativa entre dois planos, verificamos se eles são paralelos ou se possuem uma interseção.
Os planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos entre si. Os vetores normais são dados pelos coeficientes de x, y e z nas equações dos planos.
  • Vetor normal de alpha: nalpha = (1, 1, 1)
  • Vetor normal de beta: nbeta = (1, -3, 1)
Vamos verificar se nalpha é múltiplo de nbeta:
11 = 1, 1-3 neq 1, então os vetores normais não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos e, por consequência, se interceptam em uma reta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2 em relação ao plano alpha. A reta r2 tem as equações paramétricas:
r2: x = 1 + 2lambda y = 1 + lambda z = 2 - 3lambda
Para verificar se a reta está no plano, é preciso substituir as equações paramétricas do r2 na equação do plano alpha e ver se a igualdade é satisfeita para algum valor de lambda.
Substituindo:
(1 + 2lambda) + (1 + lambda) + (2 - 3lambda) - 3 = 0
Simplificando:
1 + 2lambda + 1 + lambda + 2 - 3lambda - 3 = 0$
$ (1 + 1 + 2 - 3) + (2\lambda + \lambda - 3\lambda) = 0$$
$
$1 + 0lambda = 0$
Isso não é verdadeiro, então a reta 1 = 0 não está no plano Isso não é verdadeiro, então a reta . Agora, para saber se ela é paralela ou intersecta o plano, vamos calcular o valor do denominador na fórmula da distância ponto-plano para a direção da reta.
O vetor diretor de não está no plano é Agora, para saber se ela é para<=la ou intersecta o plano, vamos calcular o valor do denominador na fórmula da distância ponto-plano para a direção da reta O vetor diretor de . Calculamos o produto escalar entre é e o vetor normal do plano Calculamos o produto escalar entre :
e o vetor normal do plano
Como o produto escalar é zero, a reta : é paralela ao plano nalpha cdot vr2 = (1)(2) + (1)(1) + (1)(-3) = 2 + 1 - 3 = 0.

Passo 4

Vamos agora verificar a reta r2 em relação ao plano beta. A equação do plano beta é:
x - 3y + z + 1 = 0
Substituindo as equações paramétricas de r2:
(1 + 2lambda) - 3(1 + lambda) + (2 - 3lambda) + 1 = 0
Simplificando:
1 + 2lambda - 3 - 3lambda + 2 - 3lambda + 1 = 0$
$ (1 - 3 + 2 + 1) + (2\lambda - 3\lambda - 3\lambda) = 0$$
$
$1 + (-4lambda) = 0$
1 - 4lambda = 0$
$
Como existe um valor de $lambda = 14 que satisfaz a equação, a reta lambda intercepta o plano r2 em um único ponto.

Passo 5

Agora, vamos analisar a reta r1 em relação ao plano beta. As equações paramétricas de r1 são:
r1: x = 1 + 4t y = 1 z = 1 - 4t
Substituindo na equação do plano beta:
(1 + 4t) - 3(1) + (1 - 4t) + 1 = 0
Simplificando:
1 + 4t - 3 + 1 - 4t + 1 = 0$
$ (-1) + 0t = 0$$
$
Isso não é verdadeiro, então a reta $-1 = 0 não está no plano r1. Agora, vamos verificar o produto escalar do vetor diretor de beta com o vetor normal de r1.
Vetor diretor de beta: r1
Produto escalar:
vr1 = (4, 0, -4)
Como o produto escalar é zero, a reta nbeta cdot vr1 = (1)(4) + (-3)(0) + (1)(-4) = 4 + 0 - 4 = 0 é paralela ao plano r1.

Passo 6

Por último, vamos comparar as retas r1 e r2. Para verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se intersectam, analisamos os vetores diretores e verificamos se existe algum ponto comum.
Vetores diretores:
  • vr1 = (4, 0, -4)
  • vr2 = (2, 1, -3)
Vamos verificar se um vetor é múltiplo do outro:
42 = 2, 01 = 0, -4-3 approx 1.33
Não são múltiplos, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos tentar encontrar um ponto onde elas se interceptam. Igualamos as equações paramétricas:
1 + 4t = 1 + 2lambda 4t = 2lambda t = lambda2
1 = 1 + lambda lambda = 0
1 - 4t = 2 - 3lambda 1 - 4t = 2 - 0 1 - 4t = 2 -4t = 1 t = -14
Mas de t = lambda2 e t = -14, temos lambda = -12. Vamos verificar se esse valor satisfaz todas as equações:
Para t = -14 e lambda = -12:
x: 1 + 4(-14) = 1 - 1 = 0 e 1 + 2(-12) = 1 - 1 = 0
y: 1 e 1 + (-12) = 12 → Não coincide
Como y não coincide, as retas não possuem ponto em comum e, portanto, são seccionais (não são paralelas e não se interceptam).

Resposta

As posições relativas são:
  • Os planos alpha e beta se intersectam.
  • A reta r2 é paralela ao plano alpha.
  • A reta r2 intercepta o plano beta.
  • A reta r1 é paralela ao plano beta.
  • As retas r1 e r2 são seccionais.

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