Seja E a elipse dada pela equação
x^225+y^29=1
Encontre a equação reduzida da parábola P definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O vértice da parábola é o foco da elipse E mais próximo do ponto (5,3).
(P.2) A diretriz da parábola é o eixo y (x=0).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que você pediu! Temos uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar a equação de uma parábola que satisfaz duas condições:
  1. O vértice da parábola é o foco da elipse mais próximo do ponto .
  2. A diretriz da parábola é o eixo y, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses e parábolas, especialmente como encontrar os focos da elipse e como relacionar a parábola com seu foco e diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da elipse .
A equação geral da elipse é , onde:
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.
Aqui, então , e então .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro da elipse é dada por c = raiz25 - 9 = raiz16 = 4 , onde .
Calculando:
Como a elipse está centrada na origem e seu maior eixo está no eixo x, os focos estão em . Ou seja, os focos são e .

Passo 4

Precisamos determinar qual desses dois focos está mais próximo do ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 .
Vamos calcular a distância de d = raiz(5 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = raiz1 + 9 = raiz10 approx 3.16 para cada foco usando a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(5 - (-4))^2 + (3 - 0)^2 = raiz81 + 9 = raiz90 approx 9.49 e :
Para o foco :
Para o foco :
Então, o foco é o mais próximo do ponto .

Passo 5

Agora que sabemos que o vértice da parábola (y - k)^2 = 4p(x - h) é e a diretriz é o eixo y ( ), podemos usar a definição da parábola para encontrar sua equação.
A parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da diretriz. Se o foco é e a diretriz é a linha , a equação da parábola é:
onde é a distância entre o vértice e o foco. Se o p é positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.

Passo 6

No nosso caso:
  • O vértice é (y - 0)^2 = 4 times 4 (x - 4) , então y^2 = 16(x - 4) e .
  • A diretriz é , então a distância entre o vértice e a diretriz é unidades (porque a distância de para é 4).
Como a diretriz está à esquerda do vértice e queremos a parábola que abre para a direita, .
Substituindo na fórmula:

Resposta

A equação reduzida da parábola y^2 = 16(x - 4) é:

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