Seja
a elipse dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola
definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O vértice da parábola é o foco da elipse
mais próximo do ponto
.
(P.2) A diretriz da parábola é o eixo y
.
(P.1) O vértice da parábola é o foco da elipse
(P.2) A diretriz da parábola é o eixo y
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que você pediu! Temos uma elipse definida pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a equação de uma parábola que satisfaz duas condições:
- O vértice da parábola é o foco da elipse mais próximo do ponto
. - A diretriz da parábola é o eixo y, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses e parábolas, especialmente como encontrar os focos da elipse e como relacionar a parábola com seu foco e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da elipse
.
A equação geral da elipse é
, onde:
-
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor.
Aqui,
então
, e
então
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro da elipse é dada por
, onde
.
Calculando:
Como a elipse está centrada na origem e seu maior eixo está no eixo x, os focos estão em
. Ou seja, os focos são
e
.
Passo 4
Precisamos determinar qual desses dois focos está mais próximo do ponto
.
Vamos calcular a distância de
para cada foco usando a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Para o foco
:
Para o foco
:
Então, o foco
é o mais próximo do ponto
.
Passo 5
Agora que sabemos que o vértice da parábola
é
e a diretriz é o eixo y (
), podemos usar a definição da parábola para encontrar sua equação.
A parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da diretriz. Se o foco é
e a diretriz é a linha
, a equação da parábola é:
onde
é a distância entre o vértice e o foco. Se o p é positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.
Passo 6
No nosso caso:
- O vértice é
, então e . - A diretriz é
, então a distância entre o vértice e a diretriz é unidades (porque a distância de para é 4).
Como a diretriz está à esquerda do vértice e queremos a parábola que abre para a direita,
.
Substituindo na fórmula:
Resposta
A equação reduzida da parábola
é: