Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O vértice da parábola é o foco da elipse mais próximo do ponto .
(P.2) A diretriz da parábola é o eixo y .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que você pediu! Temos uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar a equação de uma parábola que satisfaz duas condições:
O vértice da parábola é o foco da elipse mais próximo do ponto .
A diretriz da parábola é o eixo y, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses e parábolas, especialmente como encontrar os focos da elipse e como relacionar a parábola com seu foco e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da elipse .
A equação geral da elipse é , onde:
é o semi-eixo maior.
é o semi-eixo menor.
Aqui, então , e então .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro da elipse é dada por , onde .
Calculando:
Como a elipse está centrada na origem e seu maior eixo está no eixo x, os focos estão em . Ou seja, os focos são e .
Passo 4
Precisamos determinar qual desses dois focos está mais próximo do ponto .
Vamos calcular a distância de para cada foco usando a fórmula da distância entre dois pontos e :
Para o foco :
Para o foco :
Então, o foco é o mais próximo do ponto .
Passo 5
Agora que sabemos que o vértice da parábola é e a diretriz é o eixo y (), podemos usar a definição da parábola para encontrar sua equação.
A parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da diretriz. Se o foco é e a diretriz é a linha , a equação da parábola é:
onde é a distância entre o vértice e o foco. Se o p é positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.
Passo 6
No nosso caso:
O vértice é , então e .
A diretriz é , então a distância entre o vértice e a diretriz é unidades (porque a distância de para é 4).
Como a diretriz está à esquerda do vértice e queremos a parábola que abre para a direita, .