Considere a cônica de equação .
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para classificar a cônica dada pela equação e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Precisamos identificar os termos da equação, completar os quadrados e reescrever a equação em uma forma padrão que nos ajude a classificar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e os de :
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Para isso, fatoramos os coeficientes quadráticos:
Para :
Completando o quadrado:
Então:
Para :
Completando o quadrado:
Então:
Passo 4
Substituímos na equação original os resultados dos quadrados completos:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolamos os termos com as variáveis dos constantes:
Dividimos todos os termos por 18 para obter a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Identificamos a forma padrão da equação de uma hipérbole:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
Centro
Passo 7
Como a equação está na forma , que representa uma hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo , concluímos que a cônica é uma hipérbole.
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em , eixo transversal horizontal, e . O esboço da hipérbole apresenta duas ramas abertas horizontalmente a partir do centro.