Considere a cônica de equação 4 x^2-16 x-9 y^2+18 y=11.
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para classificar a cônica dada pela equação e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Precisamos identificar os termos da equação, completar os quadrados e reescrever a equação em uma forma padrão que nos ajude a classificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 4x^2 - 16x - 9y^2 + 18y = 11 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4x^2 - 16x = 4(x^2 - 4x) e de x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 . Para isso, fatoramos os coeficientes quadráticos:
Para 4(x^2 - 4x) = 4[(x - 2)^2 - 4] = 4(x - 2)^2 - 16 :
-9y^2 + 18y = -9(y^2 - 2y)
Completando o quadrado:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Então:
-9(y^2 - 2y) = -9[(y - 1)^2 - 1] = -9(y - 1)^2 + 9
Para :
Completando o quadrado:
Então:

Passo 4

Substituímos na equação original os resultados dos quadrados completos:
4(x - 2)^2 - 16 - 9(y - 1)^2 + 9 = 11
Simplificando os termos constantes:
4(x - 2)^2 - 9(y - 1)^2 - 7 = 11

Passo 5

Isolamos os termos com as variáveis dos constantes:
4(x - 2)^2 - 9(y - 1)^2 = 18
Dividimos todos os termos por 18 para obter a equação na forma padrão:
(x - 2)^2184 - (y - 1)^2189 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^292 - (y - 1)^22 = 1

Passo 6

Identificamos a forma padrão da equação de uma hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
(x - 2)^292 - (y - 1)^22 = 1
Vemos que:
  • Centro

Passo 7

Como a equação está na forma , que representa uma hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo , concluímos que a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em , eixo transversal horizontal, e . O esboço da hipérbole apresenta duas ramas abertas horizontalmente a partir do centro.

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Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
a) A+B
b) 2 A+3 B
c) -3 A-B
d) 5 A+5 B
e) 5(A+B)
Dada a equação da quádric:
x^2+4 y^2+9 z^2-4 x+16 y+18 z=15
(b) Classifique a quádrica e faça um esboço.
Para u=(x1, x2) e v=(y1, y2) em R^2, a função lang<=u, vrang<==x1 y1-2 x1 y2+4 x2 y2 é produto interno?
Mostrar que para todo u em R^2 temos u=lang<=u, e1rang<= e1+lang<=u, e2rang<= e2, onde e1, e2 são bases canônicas de R^2 e lang<=,$\rangle o produto interno euclidiano sobre rang<= o produto interno euclidiano sobre .