Dada a equação da quádric:
(b) Classifique a quádrica e faça um esboço.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para classificar a quádric dada por
e fazer um esboço dela. Isso envolve entender as formas das superfícies quadráticas e usar conceitos de álgebra para reorganizar a equação e identificar de que tipo de quádric estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da quádric. Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
A equação original é:
Passo 3
Começamos completando o quadrado para
:
- Identifique os termos relacionados a
: . - Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2, resultando em -2, e então elevamos ao quadrado, obtendo 4. - Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso resulta em
.
Passo 4
Fazemos o mesmo para
:
- Identifique os termos relacionados a
: . - Primeiro, fatoramos o coeficiente de
, que é 4:
- Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
- Coeficiente de
é 4, dividido por 2 dá 2, ao quadrado dá 4.
- Coeficiente de
- Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para
:
- Identifique os termos relacionados a
: . - Fatoramos o coeficiente de
, que é 9:
- Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
- Coeficiente de
é 2, dividido por 2 dá 1, ao quadrado dá 1.
- Coeficiente de
- Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Passo 6
Agora, substituímos todos os termos completos na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos somando 29 em ambos os lados:
Passo 8
Para colocar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 44:
Simplificando os denominadores:
Passo 9
Observamos que todos os termos estão positivos e somados, o que caracteriza uma elipsoide. As denominadores diferentes indicam que os eixos têm comprimentos distintos.
Passo 10
Para esboçar a elipsoide:
- O centro está no ponto
. - Os semi-eixos são:
- Em
: - Em
: - Em
:
- Em
Resposta
A quádric dada é uma elipsoide com centro em
e semi-eixos de comprimentos
,
e
nos eixos
,
e
respectivamente. O esboço seria uma elipsoide alongada ao longo do eixo
.