Dada a equação da quádric:
x^2+4 y^2+9 z^2-4 x+16 y+18 z=15
(b) Classifique a quádrica e faça um esboço.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para classificar a quádric dada por e fazer um esboço dela. Isso envolve entender as formas das superfícies quadráticas e usar conceitos de álgebra para reorganizar a equação e identificar de que tipo de quádric estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da quádric. Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4x + 16y + 18z = 15 , e .
A equação original é:

Passo 3

Começamos completando o quadrado para x^2 - 4x + 4 - 4 :
  • Identifique os termos relacionados a : .
  • Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2, resultando em -2, e então elevamos ao quadrado, obtendo 4.
  • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso resulta em .

Passo 4

Fazemos o mesmo para 4(y^2 + 4y) :
  • Identifique os termos relacionados a 4(y^2 + 4y + 4 - 4) = 4((y + 2)^2 - 4) = 4(y + 2)^2 - 16 : .
  • Primeiro, fatoramos o coeficiente de , que é 4:
  • Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
    • Coeficiente de é 4, dividido por 2 dá 2, ao quadrado dá 4.
  • Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para 9(z^2 + 2z) :
  • Identifique os termos relacionados a 9(z^2 + 2z + 1 - 1) = 9((z + 1)^2 - 1) = 9(z + 1)^2 - 9 : .
  • Fatoramos o coeficiente de , que é 9:
  • Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
    • Coeficiente de é 2, dividido por 2 dá 1, ao quadrado dá 1.
  • Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:

Passo 6

Agora, substituímos todos os termos completos na equação original:
(x - 2)^2 - 4 + 4(y + 2)^2 - 16 + 9(z + 1)^2 - 9 = 15
Simplificando:
(x - 2)^2 + 4(y + 2)^2 + 9(z + 1)^2 - 29 = 15

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos somando 29 em ambos os lados:
(x - 2)^2 + 4(y + 2)^2 + 9(z + 1)^2 = 44

Passo 8

Para colocar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 44:
(x - 2)^244 + (y + 2)^211 + (z + 1)^2449 = 1
Simplificando os denominadores:
(x - 2)^244 + (y + 2)^211 + (z + 1)^2449 = 1

Passo 9

Observamos que todos os termos estão positivos e somados, o que caracteriza uma elipsoide. As denominadores diferentes indicam que os eixos têm comprimentos distintos.

Passo 10

Para esboçar a elipsoide:
  • O centro está no ponto .
  • Os semi-eixos são:
    • Em :
    • Em :
    • Em :

Resposta

A quádric dada é uma elipsoide com centro em e semi-eixos de comprimentos , e nos eixos , e respectivamente. O esboço seria uma elipsoide alongada ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Prove que se B é uma inversa generalizada de A, então B A B também é uma inversa generalizada de A .
Considere o sistema linear abaixo:
l 2 x+3 y+z=1 x-y+2 z=7 3 x+2 y-z=4
(a) Resolva o sistema utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss).
Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
a) A+B
b) 2 A+3 B
c) -3 A-B
d) 5 A+5 B
e) 5(A+B)
Considere a cônica de equação 4 x^2-16 x-9 y^2+18 y=11.
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.