Vamos lá! A questão pede para classificar a quádric dada por e fazer um esboço dela. Isso envolve entender as formas das superfícies quadráticas e usar conceitos de álgebra para reorganizar a equação e identificar de que tipo de quádric estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da quádric. Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .
A equação original é:
Passo 3
Começamos completando o quadrado para :
Identifique os termos relacionados a : .
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2, resultando em -2, e então elevamos ao quadrado, obtendo 4.
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso resulta em .
Passo 4
Fazemos o mesmo para :
Identifique os termos relacionados a : .
Primeiro, fatoramos o coeficiente de , que é 4:
Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
Coeficiente de é 4, dividido por 2 dá 2, ao quadrado dá 4.
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para :
Identifique os termos relacionados a : .
Fatoramos o coeficiente de , que é 9:
Completa-se o quadrado dentro dos parênteses:
Coeficiente de é 2, dividido por 2 dá 1, ao quadrado dá 1.
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Passo 6
Agora, substituímos todos os termos completos na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos somando 29 em ambos os lados:
Passo 8
Para colocar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 44:
Simplificando os denominadores:
Passo 9
Observamos que todos os termos estão positivos e somados, o que caracteriza uma elipsoide. As denominadores diferentes indicam que os eixos têm comprimentos distintos.
Passo 10
Para esboçar a elipsoide:
O centro está no ponto .
Os semi-eixos são:
Em :
Em :
Em :
Resposta
A quádric dada é uma elipsoide com centro em e semi-eixos de comprimentos , e nos eixos , e respectivamente. O esboço seria uma elipsoide alongada ao longo do eixo .