Para u=(x1, x2) e v=(y1, y2) em R^2, a função lang<=u, vrang<==x1 y1-2 x1 y2+4 x2 y2 é produto interno?

Passo 1

Então, você tem dois vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2) no espaço R^2, e uma função definida por lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2. A pergunta é: essa função é um produto interno? Para descobrir isso, vamos usar os critérios que definem um produto interno e verificar se nossa função os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno é uma função que associa dois vetores a um número real, e que deve satisfazer certas propriedades: ser bilinear, simétrica e positiva definida.

Passo 3

A propriedade de bilinearidade significa que o produto interno é linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, se adicionarmos dois vetores ou multiplicarmos um vetor por um escalar, o produto interno se comporta de forma linear.

Passo 4

A propriedade de simetria diz que lang<=u, vrang<= deve ser igual a lang<=v, urang<=. Vamos verificar isso com nossa função:
lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2
lang<=v, urang<= = y1 x1 - 2 y1 x2 + 4 y2 x2
Observamos que lang<=u, vrang<= neq lang<=v, urang<= porque os termos cruzados não são iguais, já que -2 x1 y2 neq -2 y1 x2 a menos que x1 y2 = y1 x2, o que não é garantido para todos os vetores.

Passo 5

A propriedade de positividade definida requer que lang<=u, urang<= >= 0 para todo vetor u, e que seja igual a zero somente quando u é o vetor nulo. Vamos calcular:
lang<=u, urang<= = x1 x1 - 2 x1 x2 + 4 x2 x2 = x1^2 - 2 x1 x2 + 4 x2^2
Para verificar se isso é sempre não negativo, analisamos o discriminante da expressão quadrática em termos de x1 ou x2. No entanto, mesmo sem entrar em detalhes, já vimos na propriedade de simetria que a função não satisfaz todos os critérios necessários.

Passo 6

Como a função não é simétrica, ela já não pode ser um produto interno, mesmo que as outras propriedades fossem satisfeitas.

Resposta

Não, a função lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2 não é um produto interno em R^2 porque não satisfaz a propriedade de simetria.

Exercícios relacionados

Considere a cônica de equação 4 x^2-16 x-9 y^2+18 y=11.
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.
Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
a) A+B
b) 2 A+3 B
c) -3 A-B
d) 5 A+5 B
e) 5(A+B)
Mostrar que para todo u em R^2 temos u=lang<=u, e1rang<= e1+lang<=u, e2rang<= e2, onde e1, e2 são bases canônicas de R^2 e lang<=,$\rangle o produto interno euclidiano sobre rang<= o produto interno euclidiano sobre .
Calcule lang<= v+w, 2 u-vrang<= sendo |u|=1,|v|=1,|w|=raiz3,lang<=u, vrang<==-1,lang<=u, wrang<==0 elang<=v, wrang<==3.