Para u=(x1, x2) e v=(y1, y2) em R^2, a função lang<=u, vrang<==x1 y1-2 x1 y2+4 x2 y2 é produto interno?

Passo 1

Então, você tem dois vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2) no espaço R^2, e uma função definida por lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2. A pergunta é: essa função é um produto interno? Para descobrir isso, vamos usar os critérios que definem um produto interno e verificar se nossa função os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno é uma função que associa dois vetores a um número real, e que deve satisfazer certas propriedades: ser bilinear, simétrica e positiva definida.

Passo 3

A propriedade de bilinearidade significa que o produto interno é linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, se adicionarmos dois vetores ou multiplicarmos um vetor por um escalar, o produto interno se comporta de forma linear.

Passo 4

A propriedade de simetria diz que lang<=u, vrang<= deve ser igual a lang<=v, urang<=. Vamos verificar isso com nossa função:
lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2
lang<=v, urang<= = y1 x1 - 2 y1 x2 + 4 y2 x2
Observamos que lang<=u, vrang<= neq lang<=v, urang<= porque os termos cruzados não são iguais, já que -2 x1 y2 neq -2 y1 x2 a menos que x1 y2 = y1 x2, o que não é garantido para todos os vetores.

Passo 5

A propriedade de positividade definida requer que lang<=u, urang<= >= 0 para todo vetor u, e que seja igual a zero somente quando u é o vetor nulo. Vamos calcular:
lang<=u, urang<= = x1 x1 - 2 x1 x2 + 4 x2 x2 = x1^2 - 2 x1 x2 + 4 x2^2
Para verificar se isso é sempre não negativo, analisamos o discriminante da expressão quadrática em termos de x1 ou x2. No entanto, mesmo sem entrar em detalhes, já vimos na propriedade de simetria que a função não satisfaz todos os critérios necessários.

Passo 6

Como a função não é simétrica, ela já não pode ser um produto interno, mesmo que as outras propriedades fossem satisfeitas.

Resposta

Não, a função lang<=u, vrang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 + 4 x2 y2 não é um produto interno em R^2 porque não satisfaz a propriedade de simetria.

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