Para
e
em
, a função
é produto interno?
Passo 1
Então, você tem dois vetores
e
no espaço
, e uma função definida por
. A pergunta é: essa função é um produto interno? Para descobrir isso, vamos usar os critérios que definem um produto interno e verificar se nossa função os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno é uma função que associa dois vetores a um número real, e que deve satisfazer certas propriedades: ser bilinear, simétrica e positiva definida.
Passo 3
A propriedade de bilinearidade significa que o produto interno é linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, se adicionarmos dois vetores ou multiplicarmos um vetor por um escalar, o produto interno se comporta de forma linear.
Passo 4
A propriedade de simetria diz que
deve ser igual a
. Vamos verificar isso com nossa função:
Observamos que
porque os termos cruzados não são iguais, já que
a menos que
, o que não é garantido para todos os vetores.
Passo 5
A propriedade de positividade definida requer que
para todo vetor
, e que seja igual a zero somente quando
é o vetor nulo. Vamos calcular:
Para verificar se isso é sempre não negativo, analisamos o discriminante da expressão quadrática em termos de
ou
. No entanto, mesmo sem entrar em detalhes, já vimos na propriedade de simetria que a função não satisfaz todos os critérios necessários.
Passo 6
Como a função não é simétrica, ela já não pode ser um produto interno, mesmo que as outras propriedades fossem satisfeitas.
Resposta
Não, a função
não é um produto interno em
porque não satisfaz a propriedade de simetria.