Considere o conjunto A = { 1/n | n ≥ 1 e n ∈ N }. Mostre que 1 é o supremo de A, isto é,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta o conjunto e nos pede para mostrar que 1 é o supremo desse conjunto. Isso está relacionado ao estudo de limites e propriedades dos números reais, especificamente na teoria de supremum (ou mínimo superior). Para resolver, vamos precisar entender o que significa supremo e como verificar isso para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o supremo de um conjunto. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Em símbolos, é o menor tal que para todo .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto com . Observamos que, conforme aumenta, diminui. Por exemplo:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • E assim por diante.
Isso mostra que os elementos de são decrescentes e se aproximam de 0 conforme cresce.

Passo 4

Vamos verificar se 1 é um limite superior para . Ou seja, precisamos ver se todo elemento de é menor ou igual a 1.
Tomando para qualquer , temos:
Isso é verdadeiro porque , então dividindo 1 por um número maior ou igual a 1 resulta em um número menor ou igual a 1.

Passo 5

Agora, precisamos confirmar que 1 é o menor número com essa propriedade, ou seja, que não existe nenhum número menor que 1 que também seja um limite superior para .
Suponha que exista um número que seja um supremo de . Porém, sabemos que e , o que significa que não é um limite superior de . Isso contraria a definição de supremum, portanto, não pode existir um limite superior menor que 1 para .

Resposta

Portanto, o supremo do conjunto é 1.

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