Mostre, usando a técnica de redução ao absurdo, que raiz(5) não é racional.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que mostrar que raiz(5) não é um número racional usando a técnica de redução ao absurdo. Isso faz parte do conteúdo de Matemática sobre Números Reais e Propriedades dos Números. Vamos precisar entender o que é um número racional e como funciona a redução ao absurdo para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser racional. Um número é racional se pode ser escrito como uma fração a/b, onde a e b são números inteiros e b != 0. Ou seja, ele pode ser expresso como uma divisão exata entre dois inteiros.

Passo 3

Agora, para usar a redução ao absurdo, vamos supor que raiz(5) é racional. Isso significa que podemos escrever , onde a e b são inteiros que não têm nenhum fator comum além de 1 (a fração está na forma mais simples).

Passo 4

Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para simplificar:
Multiplicando os dois lados por , temos:

Passo 5

Isso significa que é múltiplo de 5. Aqui entra uma propriedade importante: se o quadrado de um número é múltiplo de 5, então o próprio número também é múltiplo de 5. Portanto, podemos dizer que a é múltiplo de 5. Vamos chamar a de , onde k é um inteiro.

Passo 6

Substituindo na equação , temos:
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 7

Agora, vemos que também é múltiplo de 5, o que implica que b também é múltiplo de 5. Então, tanto a quanto b são múltiplos de 5.

Passo 8

Mas isso é um problema! Se a e b são ambos múltiplos de 5, eles têm pelo menos o fator 5 em comum. Isso significa que a fração a/b não estava na forma mais simples, o que contraria nossa suposição inicial de que a/b estava simplificada sem fatores comuns.

Resposta

Chegamos a uma contradição porque assumimos que raiz(5) era racional. Portanto, nossa suposição estava errada, e concluímos que raiz(5) não é um número racional.

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