Mostre, usando a técnica de redução ao absurdo, que
não é racional.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que mostrar que
não é um número racional usando a técnica de redução ao absurdo. Isso faz parte do conteúdo de Matemática sobre Números Reais e Propriedades dos Números. Vamos precisar entender o que é um número racional e como funciona a redução ao absurdo para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser racional. Um número é racional se pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
. Ou seja, ele pode ser expresso como uma divisão exata entre dois inteiros.
Passo 3
Agora, para usar a redução ao absurdo, vamos supor que
é racional. Isso significa que podemos escrever
, onde
e
são inteiros que não têm nenhum fator comum além de 1 (a fração está na forma mais simples).
Passo 4
Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para simplificar:
Multiplicando os dois lados por
, temos:
Passo 5
Isso significa que
é múltiplo de 5. Aqui entra uma propriedade importante: se o quadrado de um número é múltiplo de 5, então o próprio número também é múltiplo de 5. Portanto, podemos dizer que
é múltiplo de 5. Vamos chamar
de
, onde
é um inteiro.
Passo 6
Substituindo
na equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 7
Agora, vemos que
também é múltiplo de 5, o que implica que
também é múltiplo de 5. Então, tanto
quanto
são múltiplos de 5.
Passo 8
Mas isso é um problema! Se
e
são ambos múltiplos de 5, eles têm pelo menos o fator 5 em comum. Isso significa que a fração
não estava na forma mais simples, o que contraria nossa suposição inicial de que
estava simplificada sem fatores comuns.
Resposta
Chegamos a uma contradição porque assumimos que
era racional. Portanto, nossa suposição estava errada, e concluímos que
não é um número racional.