Mostre, usando a técnica de redução ao absurdo, que não é racional.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que mostrar que não é um número racional usando a técnica de redução ao absurdo. Isso faz parte do conteúdo de Matemática sobre Números Reais e Propriedades dos Números. Vamos precisar entender o que é um número racional e como funciona a redução ao absurdo para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser racional. Um número é racional se pode ser escrito como uma fração , onde e são números inteiros e . Ou seja, ele pode ser expresso como uma divisão exata entre dois inteiros.
Passo 3
Agora, para usar a redução ao absurdo, vamos supor que é racional. Isso significa que podemos escrever , onde e são inteiros que não têm nenhum fator comum além de 1 (a fração está na forma mais simples).
Passo 4
Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para simplificar:
Multiplicando os dois lados por , temos:
Passo 5
Isso significa que é múltiplo de 5. Aqui entra uma propriedade importante: se o quadrado de um número é múltiplo de 5, então o próprio número também é múltiplo de 5. Portanto, podemos dizer que é múltiplo de 5. Vamos chamar de , onde é um inteiro.
Passo 6
Substituindo na equação , temos:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 7
Agora, vemos que também é múltiplo de 5, o que implica que também é múltiplo de 5. Então, tanto quanto são múltiplos de 5.
Passo 8
Mas isso é um problema! Se e são ambos múltiplos de 5, eles têm pelo menos o fator 5 em comum. Isso significa que a fração não estava na forma mais simples, o que contraria nossa suposição inicial de que estava simplificada sem fatores comuns.
Resposta
Chegamos a uma contradição porque assumimos que era racional. Portanto, nossa suposição estava errada, e concluímos que não é um número racional.