Considere o conjunto e determine:
a) o espaço gerado por ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores α = {(-1, 3, 1), (1, -2, 4)} e precisamos descobrir o que é o “espaço gerado” por esse conjunto. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e combinação linear. Para resolver isso, vamos usar conceitos como combinação linear e espaço gerado pelos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “espaço gerado” por um conjunto de vetores. Basicamente, é o conjunto de todos os vetores que a gente consegue obter fazendo combinações lineares dos vetores do conjunto. Então, no nosso caso, o espaço gerado por α é formado por todas as combinações lineares dos vetores (-1, 3, 1) e (1, -2, 4).
Passo 3
Uma combinação linear desses vetores é feita multiplicando cada vetor por um escalar (um número qualquer) e depois somando os resultados. Vamos chamar os escalares de c₁ e c₂. Então, uma combinação linear dos vetores em α fica assim:
Passo 4
Vamos calcular essa combinação linear passo a passo:
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Passo 5
Então, o espaço gerado por α é todo o conjunto de vetores que podem ser escritos dessa forma, ou seja:
Onde e são quaisquer números reais.
Resposta
O espaço gerado pelo conjunto α = {(-1, 3, 1), (1, -2, 4)} é o conjunto de todos os vetores , onde e são números reais. Basicamente, isso forma um plano no espaço tridimensional ℝ³ determinado por esses dois vetores.