Considere o conjunto alpha=(-1,3,1),(1,-2,4) e determine:
a) o espaço gerado por alpha;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores α = {(-1, 3, 1), (1, -2, 4)} e precisamos descobrir o que é o “espaço gerado” por esse conjunto. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e combinação linear. Para resolver isso, vamos usar conceitos como combinação linear e espaço gerado pelos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “espaço gerado” por um conjunto de vetores. Basicamente, é o conjunto de todos os vetores que a gente consegue obter fazendo combinações lineares dos vetores do conjunto. Então, no nosso caso, o espaço gerado por α é formado por todas as combinações lineares dos vetores (-1, 3, 1) e (1, -2, 4).

Passo 3

Uma combinação linear desses vetores é feita multiplicando cada vetor por um escalar (um número qualquer) e depois somando os resultados. Vamos chamar os escalares de c₁ e c₂. Então, uma combinação linear dos vetores em α fica assim:
v = c1 cdot (-1,3,1) + c2 cdot (1,-2,4)

Passo 4

Vamos calcular essa combinação linear passo a passo:
v = ( -c1, 3c1, c1 ) + ( c2, -2c2, 4c2 )
Agora, somamos as componentes correspondentes:
v = ( -c1 + c2, 3c1 - 2c2, c1 + 4c2 )

Passo 5

Então, o espaço gerado por α é todo o conjunto de vetores v = (-c1 + c2, 3c1 - 2c2, c1 + 4c2) que podem ser escritos dessa forma, ou seja:
Onde e são quaisquer números reais.

Resposta

O espaço gerado pelo conjunto α = {(-1, 3, 1), (1, -2, 4)} é o conjunto de todos os vetores , onde e são números reais. Basicamente, isso forma um plano no espaço tridimensional ℝ³ determinado por esses dois vetores.

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