Resolva os sistemas:
(d) lx+3 y+z=0 2 x+6 y+2 z=0 -x-3 y-z=0 Resp.: (-3 y-z, y, z) ; y, z in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que temos aqui. A matéria que estamos lidando é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrarmos as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + 3y + z = 0 2x + 6y + 2z = 0 -x - 3y - z = 0

Passo 3

Observando as equações, percebemos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira. Isso significa que a segunda equação não traz nenhuma informação nova e podemos descartá-la. Assim, nosso sistema simplificado fica:
x + 3y + z = 0 -x - 3y - z = 0

Passo 4

Agora, vamos somar as duas equações para eliminar as variáveis:
(x + 3y + z) + (-x - 3y - z) = 0 + 0 0 = 0
Isso nos mostra que as duas equações são dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra e não há restrições adicionais.

Passo 5

Como as equações são dependentes, podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver a primeira equação para x = -3y - z :

Passo 6

As variáveis , (-3y - z,; y,; z) ; y, z in R , e são livres, o que significa que podem assumir qualquer valor real. Portanto, as soluções do sistema são todas as combinações de e em :

Resposta

, (-3y - z,; y,; z) ; y, z in R ,

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