Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. ;
Passo 1
Beleza! Vamos ver qual é a questão: a gente tem uma transformação que pega um par de números reais (x, y) e transforma em (-y, x). A parada está dentro da matéria de Transformações Lineares, e pra descobrir se essa transformação é linear, a gente precisa lembrar dos critérios que definem uma transformação linear. Vamos precisar verificar se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
Adição de Vetores:
Multiplicação por Escalar:
Vamos testar essas duas condições para a transformação dada .
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Seja e .
Calculando :
Calculando :
Vemos que:
Então, a condição de adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja um escalar e .
Calculando :
Calculando :
Vemos que:
Então, a condição de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como as duas condições de linearidade foram satisfeitas, a transformação é linear.