Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re^2 Re^2 ; T(x, y)=(-y, x);

Passo 1

Beleza! Vamos ver qual é a questão: a gente tem uma transformação que pega um par de números reais (x, y) e transforma em (-y, x). A parada está dentro da matéria de Transformações Lineares, e pra descobrir se essa transformação é linear, a gente precisa lembrar dos critérios que definem uma transformação linear. Vamos precisar verificar se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos testar essas duas condições para a transformação dada .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(y1 + y2), x1 + x2) = (-y1 - y2, x1 + x2) e T(u) + T(v) = (-y1, x1) + (-y2, x2) = (-y1 - y2, x1 + x2) .
Calculando T(u + v) = T(u) + T(v) :
Calculando :
Vemos que:
Então, a condição de adição de vetores é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (-cy, cx) um escalar e cT(u) = c(-y, x) = (c(-y), c x) = (-cy, cx) .
Calculando T(cu) = cT(u) :
Calculando :
Vemos que:
Então, a condição de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições de linearidade foram satisfeitas, a transformação é linear.

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