Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
;
Passo 1
Beleza! Vamos ver qual é a questão: a gente tem uma transformação que pega um par de números reais (x, y) e transforma em (-y, x). A parada está dentro da matéria de Transformações Lineares, e pra descobrir se essa transformação é linear, a gente precisa lembrar dos critérios que definem uma transformação linear. Vamos precisar verificar se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos testar essas duas condições para a transformação dada
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Seja
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Vemos que:
Então, a condição de adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Calculando
:
Calculando
:
Vemos que:
Então, a condição de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como as duas condições de linearidade foram satisfeitas, a transformação
é linear.