Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se
cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de um espaço vetorial
se satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos ver se esse polinômio está em
.
Dado que
e
, o polinômio fica:
Para o vetor zero,
, então:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em
:
Somando-os:
Observe que o resultado também tem
e
, então
pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
e multiplicá-lo por um escalar
:
Novamente, o resultado tem
e
, então
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.