Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de P2(R).
b) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a0=a2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em p(x) = 0 + a1x + 0 = a1x :
O vetor zero em p(x) = 0 cdot x = 0 é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio está em .
Dado que e , o polinômio fica:
Para o vetor zero, , então:
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se p(x) = a1x e q(x) = b1x é fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em p(x) + q(x) = a1x + b1x = (a1 + b1)x :
Somando-os:
Observe que o resultado também tem e , então pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se p(x) = a1x Rightarrow c cdot p(x) = c cdot a1x = (c a1)x é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em e multiplicá-lo por um escalar :
Novamente, o resultado tem e , então também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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