Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial de .
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial se satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio está em .
Dado que e , o polinômio fica:
Para o vetor zero, , então:
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em :
Somando-os:
Observe que o resultado também tem e , então pertence a . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em e multiplicá-lo por um escalar :
Novamente, o resultado tem e , então também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .