Sejam e vetores tais que e são unitários, o ângulo e . Calcule:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de vetores juntos! A gente tem três vetores: u, v e w. Sabemos que o tamanho de u é 4, v e w são vetores unitários (ou seja, têm tamanho 1), o ângulo entre u e v é 30 graus, e o produto misto [u, v, w] é 1/2. Nosso objetivo aqui é calcular o produto escalar u ⋅ v. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores e entender um pouquinho sobre trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. A fórmula é:
Aqui, é o tamanho (ou norma) do vetor u, é o tamanho do vetor v, e é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. Sabemos que , (porque é um vetor unitário) e . Então:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar qual é o valor de . O cosseno de 30 graus é . Portanto, substituindo na equação: