Considere o conjunto
.
c. Determine a matriz de mudança de base de
para a base canônica
.
c. Determine a matriz de mudança de base de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz de mudança de base do conjunto
para a base canônica
no espaço
.
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com mudança de base em espaços vetoriais, especificamente no
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base em relação a outra base, usando matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter vetores da base
para a base canônica
.
Teoria: Se temos uma base
e queremos mudar para a base
, a matriz de mudança de base
é formada pelas coordenadas dos vetores de
expressos na base
, organizados como colunas.
Passo 3
Como a base canônica
é
, que são vetores padrão, as coordenadas dos vetores de
na base
são exatamente os próprios vetores de
.
Aplicação: Então, para cada vetor em
, colocamos suas componentes como colunas na matriz.
Passo 4
Vamos pegar os vetores de
:
- Primeiro vetor:
- Segundo vetor:
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz de mudança de base.
Cálculo:
Resposta
A matriz de mudança de base de
para a base canônica
é: