Sejam os vetores
e
. Expresse os seguintes vetores como combinação linear de
e
.
b.
b.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
Precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, queremos encontrar números
,
e
tais que:
Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para
,
e
.
Passo 2
Vamos escrever a equação vetorial componente por componente. Isso significa igualar as coordenadas correspondentes dos vetores:
Ao expandir, temos:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
Passo 4
Substituímos
-2 = -(1 - 2c2) + b + 3c na primeira equação:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos
1 = 4a + b + 2c e
1 = 4(1 - 2c2) + (-32 - 4c) + 2c na terceira equação:
Substituindo os valores de
1 = 12 - 6c Rightarrow 6c = 12 - 1 = -12 Rightarrow c = -112 e
:
Simplificando:
Passo 6
Com
a = 1 - 2c2 = 1 - 2(-112)2 = 1 + 162 = 762 = 712 , encontramos
b = -32 - 4c = -32 - 4(-112) = -32 + 13 = -96 + 26 = -76 e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o vetor
v2 = 712 cdot u - 76 cdot v - 112 cdot w pode ser expresso como: