Sejam os vetores u=(-1,2,4), v=(1,0,1) e w=(3,2,2). Expresse os seguintes vetores como combinação linear de u, v e w.
b. v2=(-2,1,1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
  • v2 = a cdot u + b cdot v + c cdot w
Precisamos expressar o vetor como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, queremos encontrar números , e tais que:
Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para , e .

Passo 2

Vamos escrever a equação vetorial componente por componente. Isso significa igualar as coordenadas correspondentes dos vetores:
(-2, 1, 1) = a cdot (-1, 2, 4) + b cdot (1, 0, 1) + c cdot (3, 2, 2)
Ao expandir, temos:
-2 = -a + b + 3c 1 = 2a + 0b + 2c 1 = 4a + b + 2c

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
1 = 2a + 2c Rightarrow 2a = 1 - 2c Rightarrow a = 1 - 2c2

Passo 4

Substituímos -2 = -(1 - 2c2) + b + 3c na primeira equação:
-2 = -12 + c + b + 3c Rightarrow -2 + 12 = b + 4c Rightarrow -32 = b + 4c
Simplificando:
b = -32 - 4c
Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos 1 = 4a + b + 2c e 1 = 4(1 - 2c2) + (-32 - 4c) + 2c na terceira equação:
1 = 2(1 - 2c) - 32 - 4c + 2c Rightarrow 1 = 2 - 4c - 32 - 2c
Substituindo os valores de 1 = 12 - 6c Rightarrow 6c = 12 - 1 = -12 Rightarrow c = -112 e :
Simplificando:

Passo 6

Com a = 1 - 2c2 = 1 - 2(-112)2 = 1 + 162 = 762 = 712 , encontramos b = -32 - 4c = -32 - 4(-112) = -32 + 13 = -96 + 26 = -76 e :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o vetor v2 = 712 cdot u - 76 cdot v - 112 cdot w pode ser expresso como:

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