Seja V=R^4. Verifique se o conjunto beta=(1,3,-2,4),(1,1,5,9),(2,0,-13,23),(1,5,1,-2) é uma base de V.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto beta = (1,3,-2,4),(1,1,5,9),(2,0,-13,23),(1,5,1,-2) é uma base de V = R^4. Para isso, precisamos entender que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço. Vamos focar em verificar a independência linear dos vetores de beta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores de beta em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:
A = 1 & 1 & 2 & 1 3 & 1 & 0 & 5 -2 & 5 & -13 & 1 4 & 9 & 23 & -2
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 4 times 4 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Após realizar os cálculos, encontramos que:
det(A) = -120
Como o determinante é -120, que é diferente de zero, isso nos indica que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Como o determinante de A é diferente de zero ( det(A) = -120 neq 0), os vetores em beta são linearmente independentes e, portanto, beta é uma base de V = R^4.

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