Considere o conjunto
.
a. Mostre que
é uma base de
.
a. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
em
e queremos mostrar que esse conjunto é uma base de
. Isso significa que precisamos provar que esses vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espaços vetoriais, independência linear e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em um espaço vetorial como
, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram o espaço todo. No caso de
, a gente precisa de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores de
são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
, então
e
.
Passo 4
Vamos montar esse sistema de equações:
A equação (1) fica:
. Daqui, podemos resolver para um dos coeficientes, por exemplo,
.
Passo 5
Substituindo
na equação (2):
E, se
, então
. Então, a única solução é
e
, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos dois vetores em
que são linearmente independentes, eles também geram todo o espaço
. Isso porque o número de vetores na base é igual à dimensão do espaço, que é 2.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base de
.