Considere o conjunto B=(1,3),(1,-2) subset R^2.
a. Mostre que B é uma base de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto B = (1,3), (1,-2) em R^2 e queremos mostrar que esse conjunto é uma base de R^2. Isso significa que precisamos provar que esses vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^2. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre espaços vetoriais, independência linear e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em um espaço vetorial como R^2, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram o espaço todo. No caso de R^2, a gente precisa de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores de B são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a(1,3) + b(1,-2) = (0,0), então a = 0 e b = 0.

Passo 4

Vamos montar esse sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 1 = 0 (1)
a cdot 3 + b cdot (-2) = 0 (2)
A equação (1) fica: a + b = 0. Daqui, podemos resolver para um dos coeficientes, por exemplo, a = -b.

Passo 5

Substituindo a = -b na equação (2):
(-b) cdot 3 + b cdot (-2) = 0
-3b - 2b = 0
-5b = 0
b = 0
E, se b = 0, então a = -0 = 0. Então, a única solução é a = 0 e b = 0, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos dois vetores em R^2 que são linearmente independentes, eles também geram todo o espaço R^2. Isso porque o número de vetores na base é igual à dimensão do espaço, que é 2.

Resposta

Portanto, o conjunto B = (1,3), (1,-2) é uma base de R^2.

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