Considere o subconjunto C=(infty, prime, infty),(in, infty, in),(infty, in, in) do R^3. Pede-se:
c) Dado o vetor u=(1,1,1), determine suas coordenadas com relação à base C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subconjunto C = (infty, prime, infty), (in, infty, in), (infty, in, in) do espaço R^3, que provavelmente representa uma base para esse espaço. A nossa tarefa é encontrar as coordenadas do vetor u = (1,1,1) em relação a essa base C. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudanças de base e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as bases. Vamos chamar os vetores de C de v1, v2 e v3, onde:
v1 = (infty, prime, infty) v2 = (in, infty, in) v3 = (infty, in, in)
Nosso objetivo é expressar o vetor u como uma combinação linear desses vetores:
u = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
onde c1, c2 e c3 são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3, precisamos montar um sistema de equações. Vamos igualar cada componente de u à combinação linear correspondente:
1 = c1 cdot infty + c2 cdot in + c3 cdot infty 1 = c1 cdot prime + c2 cdot infty + c3 cdot in 1 = c1 cdot infty + c2 cdot in + c3 cdot in
No entanto, há um problema aqui: os símbolos como infty e in não são números reais e não fazem sentido nesse contexto. Isso sugere que pode ter havido um erro na formulação dos vetores da base C. Normalmente, as bases são formadas por vetores com componentes numéricas.

Passo 4

Vamos supor que os símbolos infty e in sejam placeholders para números reais, por exemplo, 1 e 0. Assim, reescrevemos os vetores da base:
v1 = (1, 0, 1) v2 = (0, 1, 0) v3 = (1, 0, 0)
Agora, montamos o sistema de equações para encontrar c1, c2 e c3:
1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 1 = c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: 1 = c1
  2. Da segunda equação: 1 = c2
  3. Da primeira equação: 1 = c1 + c3; já sabemos que c1 = 1, então 1 = 1 + c3 c3 = 0

Resposta

As coordenadas do vetor u = (1,1,1) em relação à base C são (1, 1, 0).

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