Considere o conjunto C = {(x, y) em R^2 : x^3 + y^3 = 3axy}, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é C, de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo y = 0 e o vetor posição (x, y). (Dica: experimente y = t x.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva parametrizada que descreva o fólio de Descartes, dado por . A gente precisa parametrizar essa curva de forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo entre o eixo (ou seja, o eixo x) e o vetor posição . Para isso, vamos usar a dica: experimentar .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Isso significa que é a razão entre e , justamente a tangente do ângulo mencionado. Substituindo por na equação do fólio de Descartes:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Calculando temos , e . Então:

Passo 4

Fatorando no lado esquerdo da equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 5

Agora, resolvendo para :
Com isso, temos a expressão para em termos de .

Passo 6

Como já assumimos que , vamos substituir pela expressão encontrada:

Passo 7

Então, a parametrização do fólio de Descartes fica:

Resposta

A curva parametrizada diferenciável que representa o fólio de Descartes é:

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