Considere o conjunto , denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é , de tal forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição . (Dica: experimente .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva parametrizada que descreva o fólio de Descartes, dado por . A gente precisa parametrizar essa curva de forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo entre o eixo (ou seja, o eixo x) e o vetor posição . Para isso, vamos usar a dica: experimentar .
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que . Isso significa que é a razão entre e , justamente a tangente do ângulo mencionado. Substituindo por na equação do fólio de Descartes:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Calculando temos , e . Então:
Passo 4
Fatorando no lado esquerdo da equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por (assumindo que ):
Passo 5
Agora, resolvendo para :
Com isso, temos a expressão para em termos de .
Passo 6
Como já assumimos que , vamos substituir pela expressão encontrada:
Passo 7
Então, a parametrização do fólio de Descartes fica:
Resposta
A curva parametrizada diferenciável que representa o fólio de Descartes é: