Considere o conjunto , denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é , de tal forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição . (Dica: experimente .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva parametrizada que descreva o fólio de Descartes, dado por . A gente precisa parametrizar essa curva de forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo entre o eixo (ou seja, o eixo x) e o vetor posição . Para isso, vamos usar a dica: experimentar .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Isso significa que é a razão entre e , justamente a tangente do ângulo mencionado. Substituindo por na equação do fólio de Descartes:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Calculando temos , e . Então:

Passo 4

Fatorando no lado esquerdo da equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 5

Agora, resolvendo para :
Com isso, temos a expressão para em termos de .

Passo 6

Como já assumimos que , vamos substituir pela expressão encontrada:

Passo 7

Então, a parametrização do fólio de Descartes fica:

Resposta

A curva parametrizada diferenciável que representa o fólio de Descartes é:

Exercícios relacionados

Esboce o traço e determine o comprimento da catenária .
Determine uma reparametrização da ciclóide
pelo comprimento de arco, em que .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f) .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)