Considere o conjunto
, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é
, de tal forma que o parâmetro
seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo
e o vetor posição
. (Dica: experimente
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva parametrizada que descreva o fólio de Descartes, dado por
. A gente precisa parametrizar essa curva de forma que o parâmetro
seja a tangente do ângulo entre o eixo
(ou seja, o eixo x) e o vetor posição
. Para isso, vamos usar a dica: experimentar
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
. Isso significa que
é a razão entre
e
, justamente a tangente do ângulo mencionado. Substituindo
por
na equação do fólio de Descartes:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Calculando
temos
, e
. Então:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo da equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 5
Agora, resolvendo para
:
Com isso, temos a expressão para
em termos de
.
Passo 6
Como já assumimos que
, vamos substituir
pela expressão encontrada:
Passo 7
Então, a parametrização do fólio de Descartes fica:
Resposta
A curva parametrizada diferenciável que representa o fólio de Descartes é: