Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano cartesiano e entender como o parâmetro
influencia a direção da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação vetorial está nos dizendo. A função
nos dá as coordenadas
e
em função de
:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Vamos tentar eliminar o parâmetro
para achar a relação entre
e
. Observando as duas equações:
Então, a relação entre
e
é:
Isso é uma equação de uma reta!
Passo 4
Agora que sabemos que a curva é uma reta com a equação
, podemos esboçar o gráfico dessa reta. Para isso, vamos encontrar dois pontos que satisfazem essa equação:
- Se
, então → Ponto - Se
, então → Ponto
Passo 5
Com esses dois pontos, desenhamos a reta que os conecta. Mas precisamos também indicar a direção em que o parâmetro
cresce. Vamos analisar isso:
Quando
aumenta:
-
sempre é positivo ou zero. - Conforme
aumenta, aumenta. - Simultaneamente,
diminui.
Então, conforme movemos o
para valores maiores, a curva vai do ponto onde
é menor para onde
é maior na direção da reta.
Passo 6
Para indicar essa direção no gráfico, colocamos setas na reta na direção de crescente de
. Isso significa que as setas vão do ponto onde
é menor para onde
é maior, seguindo de baixo para cima ou vice-versa dependendo da interpretação dos valores de
.
Resposta
O gráfico da curva
é uma reta definida por
. As setas indicam que, conforme
cresce, a movimentação na reta vai de pontos onde
aumenta e
diminui.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f) .
f)
Considere o conjunto
, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é
, de tal forma que o parâmetro
seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo
e o vetor posição
. (Dica: experimente
.)
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
d)