Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c) sigma(t) = (-1 + t^2, 2 - t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano cartesiano e entender como o parâmetro t influencia a direção da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação vetorial está nos dizendo. A função sigma(t) nos dá as coordenadas x e y em função de t:
Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto (x, y) no plano.

Passo 3

Vamos tentar eliminar o parâmetro t para achar a relação entre x e y. Observando as duas equações:
Então, a relação entre x e y é:
Isso é uma equação de uma reta!

Passo 4

Agora que sabemos que a curva é uma reta com a equação , podemos esboçar o gráfico dessa reta. Para isso, vamos encontrar dois pontos que satisfazem essa equação:
  • Se x = 0, então → Ponto
  • Se x = 1, então → Ponto

Passo 5

Com esses dois pontos, desenhamos a reta que os conecta. Mas precisamos também indicar a direção em que o parâmetro t cresce. Vamos analisar isso:
Quando t aumenta:
  • t^2 sempre é positivo ou zero.
  • Conforme t aumenta, aumenta.
  • Simultaneamente, diminui.
Então, conforme movemos o t para valores maiores, a curva vai do ponto onde t é menor para onde t é maior na direção da reta.

Passo 6

Para indicar essa direção no gráfico, colocamos setas na reta na direção de crescente de t. Isso significa que as setas vão do ponto onde t é menor para onde t é maior, seguindo de baixo para cima ou vice-versa dependendo da interpretação dos valores de t.

Resposta

O gráfico da curva é uma reta definida por . As setas indicam que, conforme t cresce, a movimentação na reta vai de pontos onde x aumenta e y diminui.

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