Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano cartesiano e entender como o parâmetro influencia a direção da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação vetorial está nos dizendo. A função nos dá as coordenadas e em função de :
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no plano.

Passo 3

Vamos tentar eliminar o parâmetro para achar a relação entre e . Observando as duas equações:
Então, a relação entre e é:
Isso é uma equação de uma reta!

Passo 4

Agora que sabemos que a curva é uma reta com a equação , podemos esboçar o gráfico dessa reta. Para isso, vamos encontrar dois pontos que satisfazem essa equação:
  • Se , então → Ponto
  • Se , então → Ponto

Passo 5

Com esses dois pontos, desenhamos a reta que os conecta. Mas precisamos também indicar a direção em que o parâmetro cresce. Vamos analisar isso:
Quando aumenta:
  • sempre é positivo ou zero.
  • Conforme aumenta, aumenta.
  • Simultaneamente, diminui.
Então, conforme movemos o para valores maiores, a curva vai do ponto onde é menor para onde é maior na direção da reta.

Passo 6

Para indicar essa direção no gráfico, colocamos setas na reta na direção de crescente de . Isso significa que as setas vão do ponto onde é menor para onde é maior, seguindo de baixo para cima ou vice-versa dependendo da interpretação dos valores de .

Resposta

O gráfico da curva é uma reta definida por . As setas indicam que, conforme cresce, a movimentação na reta vai de pontos onde aumenta e diminui.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f) .
Considere o conjunto , denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é , de tal forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição . (Dica: experimente .)
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)