Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f)
.
f)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro
aumenta. A equação dada é
com
variando entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as funções secante e tangente. A secante,
, é definida como
e a tangente,
, como
. Essas funções têm comportamentos específicos que vamos usar para traçar o gráfico.
Passo 3
Vamos identificar os pontos chave onde podemos calcular
e
. Vamos escolher alguns valores de
dentro do intervalo
, como
,
,
,
, e
, e calcular as coordenadas correspondentes.
Passo 4
Calculando para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Passo 5
Agora, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano. Observamos que conforme
aumenta de
para
, o valor de
diminui de infinito negativo para infinito positivo, passando por 1 quando
. A tangente aumenta linearmente de
a
, passando por 0.
Passo 6
Com base nos pontos calculados e no comportamento das funções, percebemos que a curva formada é uma hipérbole. À medida que
aumenta, a curva se move da esquerda para a direita, indicando a direção do parâmetro.
Resposta
O gráfico da curva
é uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. As setas no gráfico indicam que, conforme o parâmetro
aumenta de
para
, o movimento segue da esquerda para a direita na hipérbole.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é
, de tal forma que o parâmetro
seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo
e o vetor posição
. (Dica: experimente
.)
Esboce o traço e determine o comprimento da catenária
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)
c)
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.