Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f) .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro aumenta. A equação dada é com variando entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções secante e tangente. A secante, , é definida como e a tangente, , como . Essas funções têm comportamentos específicos que vamos usar para traçar o gráfico.

Passo 3

Vamos identificar os pontos chave onde podemos calcular e . Vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo , como , , , , e , e calcular as coordenadas correspondentes.

Passo 4

Calculando para :
Ponto:
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:

Passo 5

Agora, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano. Observamos que conforme aumenta de para , o valor de diminui de infinito negativo para infinito positivo, passando por 1 quando . A tangente aumenta linearmente de a , passando por 0.

Passo 6

Com base nos pontos calculados e no comportamento das funções, percebemos que a curva formada é uma hipérbole. À medida que aumenta, a curva se move da esquerda para a direita, indicando a direção do parâmetro.

Resposta

O gráfico da curva é uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. As setas no gráfico indicam que, conforme o parâmetro aumenta de para , o movimento segue da esquerda para a direita na hipérbole.

Exercícios relacionados

Considere o conjunto , denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é , de tal forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição . (Dica: experimente .)
Esboce o traço e determine o comprimento da catenária .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo .