Esboce o traço e determine o comprimento da catenária .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o traço da catenária dada pela função no intervalo e calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvas, especialmente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma catenária. A catenária é a curva que uma corrente ou cabo adquire sob a ação da gravidade quando está suspenso pelas suas extremidades. Matematicamente, ela é representada pela função hiperbólica . No nosso caso, a função descreve essa curva no plano.
Passo 3
Para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por no intervalo , usamos a seguinte fórmula:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das componentes e da nossa função .
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Sabemos que , então . Substituindo isso na integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral da função hiperbólica :
Resposta
O comprimento da catenária no intervalo é dado por: