Esboce o traço e determine o comprimento da catenária alpha(t) = (t, cosh(t)), t em I = [a, b] ⊂ R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o traço da catenária dada pela função no intervalo e calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvas, especialmente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma catenária. A catenária é a curva que uma corrente ou cabo adquire sob a ação da gravidade quando está suspenso pelas suas extremidades. Matematicamente, ela é representada pela função hiperbólica cosh t. No nosso caso, a função descreve essa curva no plano.

Passo 3

Para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por no intervalo [a, b], usamos a seguinte fórmula:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das componentes x(t) e y(t) da nossa função alpha(t).

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Sabemos que , então . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral da função hiperbólica cosh t:

Resposta

O comprimento da catenária no intervalo [a, b] é dado por:

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