Determine uma reparametrização da ciclóide
pelo comprimento de arco, em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a reparametrização da ciclóide pelo comprimento de arco! A ciclóide é uma curva traçada por um ponto em uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície. A equação da ciclóide que temos é:
Aqui, é uma constante que determina o tamanho da ciclóide. Nosso objetivo é reescrever essa parametrização em termos do comprimento de arco, ou seja, queremos expressar a posição na curva em função da distância percorrida ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar a velocidade vetorial da curva. Isso nos ajudará a determinar como o comprimento de arco se relaciona com .
A derivada de é:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento de arco em função de , precisamos calcular a integral da magnitude da velocidade vetorial de a . A fórmula para o comprimento de arco é:
Onde é a norma (ou magnitude) do vetor velocidade .

Passo 4

Vamos calcular a magnitude de :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, substituímos a magnitude na integral do comprimento de arco:
Vamos resolver essa integral:
Simplificando:

Passo 6

Para reparametrizar a ciclóide pelo comprimento de arco, precisamos expressar em termos de . A partir da equação obtida:
Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, substituímos em termos de na equação original da ciclóide:
Substituindo :

Resposta

A reparametrização da ciclóide pelo comprimento de arco , onde , é dada por:

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Considere o conjunto , denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é , de tal forma que o parâmetro seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição . (Dica: experimente .)