Determine uma reparametrização da ciclóide
pelo comprimento de arco, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a reparametrização da ciclóide pelo comprimento de arco! A ciclóide é uma curva traçada por um ponto em uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície. A equação da ciclóide que temos é:
Aqui,
é uma constante que determina o tamanho da ciclóide. Nosso objetivo é reescrever essa parametrização em termos do comprimento de arco, ou seja, queremos expressar a posição na curva em função da distância percorrida ao longo dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar a velocidade vetorial da curva. Isso nos ajudará a determinar como o comprimento de arco se relaciona com
.
A derivada de
é:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento de arco
em função de
, precisamos calcular a integral da magnitude da velocidade vetorial de
a
. A fórmula para o comprimento de arco é:
Onde
é a norma (ou magnitude) do vetor velocidade
.
Passo 4
Vamos calcular a magnitude de
:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 5
Agora, substituímos a magnitude na integral do comprimento de arco:
Vamos resolver essa integral:
Simplificando:
Passo 6
Para reparametrizar a ciclóide pelo comprimento de arco, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação obtida:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, substituímos
em termos de
na equação original da ciclóide:
Substituindo
:
Resposta
A reparametrização da ciclóide pelo comprimento de arco
, onde
, é dada por:
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e
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Esboce o traço e determine o comprimento da catenária
.
Considere o conjunto
, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é
, de tal forma que o parâmetro
seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo
e o vetor posição
. (Dica: experimente
.)