Considere o conjunto D=(x, y) in R^2: 0 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <= x, x >= 0 Calcule a integral integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre um conjunto D no plano, usando o conteúdo de cálculo integral e coordenadas polares. Vamos precisar entender bem a região D e como mudar para coordenadas polares para facilitar a nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Ela é definida por 0 ≤ x² + y² ≤ 4, -x ≤ y ≤ x e x ≥ 0. Isso basicamente descreve uma região dentro de um círculo de raio 2 (já que x² + y² ≤ 4) e entre as linhas y = x e y = -x, no primeiro e quarto quadrantes porque x ≥ 0.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
  • x = r cosθ
  • y = r sinθ
  • O elemento de área dx dy vira r dr dθ

Passo 4

Agora, vamos traduzir as condições de D para coordenadas polares:
  • 0 ≤ r² ≤ 4 → 0 ≤ r ≤ 2
  • y = x → tanθ = 1 → θ = π/4
  • y = -x → tanθ = -1 → θ = -π/4
  • x ≥ 0 → cosθ ≥ 0 → -π/2 ≤ θ ≤ π/2
Então, nossos limites de integração serão r de 0 a 2 e θ de -π/4 a π/4.

Passo 5

A integral que precisamos calcular fica assim em coordenadas polares:
integral duplaD e^x^2+y^2 , dx , dy = integral-pi4^pi4 integral0^2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Isso simplifica porque x² + y² = r², então o integrando vira e^{r²}.

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a r:
integral0^2 e^r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = r², temos du = 2r dr, ou r dr = du/2. Então:
12 integral0^4 e^u , du = 12 [ e^u ]0^4 = 12 (e^4 - e^0) = 12 (e^4 - 1)

Passo 7

Agora, integraremos em relação a θ:
integral-pi4^pi4 12 (e^4 - 1) , dtheta = 12 (e^4 - 1) cdot [ theta ]-pi4^pi4 = 12 (e^4 - 1) cdot ( pi4 - (-pi4) ) = 12 (e^4 - 1) cdot pi2 = pi4 (e^4 - 1)

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados