Considere o conjunto
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre um conjunto D no plano, usando o conteúdo de cálculo integral e coordenadas polares. Vamos precisar entender bem a região D e como mudar para coordenadas polares para facilitar a nossa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região D. Ela é definida por 0 ≤ x² + y² ≤ 4, -x ≤ y ≤ x e x ≥ 0. Isso basicamente descreve uma região dentro de um círculo de raio 2 (já que x² + y² ≤ 4) e entre as linhas y = x e y = -x, no primeiro e quarto quadrantes porque x ≥ 0.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
- x = r cosθ
- y = r sinθ
- O elemento de área dx dy vira r dr dθ
Passo 4
Agora, vamos traduzir as condições de D para coordenadas polares:
- 0 ≤ r² ≤ 4 → 0 ≤ r ≤ 2
- y = x → tanθ = 1 → θ = π/4
- y = -x → tanθ = -1 → θ = -π/4
- x ≥ 0 → cosθ ≥ 0 → -π/2 ≤ θ ≤ π/2
Então, nossos limites de integração serão r de 0 a 2 e θ de -π/4 a π/4.
Passo 5
A integral que precisamos calcular fica assim em coordenadas polares:
Isso simplifica porque x² + y² = r², então o integrando vira e^{r²}.
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a r:
Fazendo a substituição u = r², temos du = 2r dr, ou r dr = du/2. Então:
Passo 7
Agora, integraremos em relação a θ:
Resposta
A integral vale
.