Considere o sólido S delimitado pelo parabolóide z = 4 x^2 + 4 y^2, o cilindro x^2 + y^2 = 3y e o plano z = 0. Esboce o sólido S

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sólido que é delimitado por três superfícies: um parabolóide dado por , um cilindro definido por e o plano . Nosso objetivo aqui é esboçar esse sólido. Para isso, vamos precisar entender a forma dessas superfícies e como elas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o cilindro . Para facilitar, podemos completar o quadrado na equação:
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um cilindro circular de raio centrado no ponto no plano .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o parabolóide . Esse é um parabolóide que abre para cima, simétrico em relação aos eixos e . À medida que e aumentam em valor absoluto, cresce rapidamente devido aos coeficientes 4.

Passo 4

O plano é simplesmente o plano , que atua como a base do sólido. Então, nosso sólido está “encapsulado” entre o parabolóide acima e o plano abaixo, com as laterais definidas pelo cilindro.

Passo 5

Para esboçar o sólido, siga estes passos:
  1. Desenhe o cilindro no plano . Como vimos, ele é um círculo centrado em com raio .
  2. Desenhe o parabolóide . Ele começa no ponto e se eleva à medida que você se afasta do centro.
  3. O plano é a base onde tudo começa.
  4. O sólido é a região dentro do cilindro, abaixo do parabolóide e acima do plano .

Resposta

Então, o sólido é a região tridimensional que está dentro do cilindro circular , abaixo do parabolóide e acima do plano . Ao esboçar, você verá uma “câmara” circular filtrada pelo cilindro, com o parabolóide formando o teto curvo dessa câmara.

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