Considere a curva
interseção do paraboloide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre a curva
, que é a interseção entre o paraboloide
e o cilindro
. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre qualquer superfície que tenha
como fronteira. Isso vai facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha da função vetorial
ao longo de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre a superfície
limitada por
.
Passo 3
Vamos identificar a função vetorial
:
Agora, precisamos calcular o rotacional de
, que é
. As componentes do rotacional são dadas por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja fronteira seja
. Como
é a interseção entre o paraboloide e o cilindro, podemos escolher a superfície
como a parte do cilindro
que está abaixo do paraboloide.
Para simplificar os cálculos, notamos que no cilindro
, podemos parametrizar
e , onde
varia de 0 a
. Substituindo na equação do paraboloide, temos
. Portanto,
é constante no círculo de interseção.
Passo 5
Como
é constante (9) na superfície escolhida, o vetor normal
à superfície é simplesmente
. Agora, podemos calcular o produto escalar
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, a integral de superfície se torna:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
A área da superfície
é a área do círculo de raio 1, que é
. Portanto: