Considere a curva C interseção do paraboloide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z
Resp.: (81-e^6) pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre a curva ointC y e^z-3 dx + x z^2 dy + e^x y z dz , que é a interseção entre o paraboloide e o cilindro . A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre qualquer superfície que tenha como fronteira. Isso vai facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha da função vetorial ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre a superfície limitada por .

Passo 3

Vamos identificar a função vetorial F = ( y e^z-3, x z^2, e^x y z ) :
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Agora, precisamos calcular o rotacional de nabla times F = ( x z e^x y z - 2x z, y e^z-3 - y z e^x y z, z^2 - e^z-3 ) , que é . As componentes do rotacional são dadas por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja fronteira seja . Como é a interseção entre o paraboloide e o cilindro, podemos escolher a superfície como a parte do cilindro que está abaixo do paraboloide.
Para simplificar os cálculos, notamos que no cilindro , podemos parametrizar e , onde varia de 0 a . Substituindo na equação do paraboloide, temos . Portanto, é constante no círculo de interseção.

Passo 5

Como (nabla times F) cdot n = z^2 - e^z-3 é constante (9) na superfície escolhida, o vetor normal (nabla times F) cdot n = 81 - e^6 à superfície é simplesmente . Agora, podemos calcular o produto escalar :
Substituindo :

Passo 6

Agora, a integral de superfície se torna:
integral duplaS (81 - e^6) , dS
Como (81 - e^6) integral duplaS , dS é uma constante, podemos tirá-la da integral:
(81 - e^6) pi
A área da superfície é a área do círculo de raio 1, que é . Portanto:

Resposta

(81 - e^6) pi

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