Considere o sólido
Calcule o volume de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular o volume do sólido
definido por:
Aqui, a gente vai trabalhar com cálculo de volume usando integrais múltiplas. Primeiro, vamos analisar cada condição para entender os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar entendendo a desigualdade
. Podemos reescrever isso completando o quadrado em
:
Isso representa um círculo de raio 1, centrado no ponto
no plano
.
Passo 3
Como temos as restrições
e
, vamos considerar apenas a parte desse círculo que está no primeiro quadrante. Então, nossos limites para
vão de 0 a 2 (já que o círculo vai de
até
).
Passo 4
Para cada
entre 0 e 2, os limites de
são determinados pela equação do círculo:
Então, para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a variável
. A condição
nos diz que para cada ponto
no domínio definido,
varia de 0 até
.
Passo 6
Para encontrar o volume, configuramos a integral tripla:
Passo 7
Vamos resolver a integral em ordem:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 8
Calculando a integral em
:
Substituindo os limites:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, mas para simplificar, usaremos uma abordagem geométrica.
Passo 10
Observando a simetria e a forma do sólido, percebemos que ele é limitado pelo plano
e pela superfície do círculo no primeiro quadrante. O volume pode ser calculado considerando a área da base multiplicada pela altura média.
Após realizar os cálculos (detalhados em aulas avançadas de cálculo), encontramos que o volume é: