Use a série de Taylor centrada em
para descrever as funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Taylor centrada em
para descrever a função
. A matéria envolvida aqui é o estudo das séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções logarítmicas em séries e aplicar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Queremos expressar essa função de uma maneira que facilite a aplicação da série de Taylor. Podemos fatorar o 3 dentro do logaritmo:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Agora, a função está dividida em duas partes:
, que é uma constante, e
, que vamos expandir usando a série de Taylor.
Passo 3
A série de Taylor para
centrada em
é conhecida e dada por:
Nesse caso, nosso
é
. Então, substituindo
na série, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada termo da série:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
E assim por diante. Podemos continuar expandindo quantos termos quisermos para aproximar a função com a precisão desejada.
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos a série de Taylor para
:
Essa série nos aproxima a função
para valores de
próximos a 0.
Resposta
A série de Taylor centrada em
para a função
é: