Use a série de Taylor centrada em x=0 para descrever as funções: f(x)=ln (3+4 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Taylor centrada em para descrever a função . A matéria envolvida aqui é o estudo das séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções logarítmicas em séries e aplicar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = ln(3 + 4x) = ln(3(1 + 4x3)) . Queremos expressar essa função de uma maneira que facilite a aplicação da série de Taylor. Podemos fatorar o 3 dentro do logaritmo:
f(x) = ln(3) + ln(1 + 4x3)
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:
Agora, a função está dividida em duas partes: , que é uma constante, e , que vamos expandir usando a série de Taylor.

Passo 3

A série de Taylor para ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - y^44 + cdots centrada em ln(1 + 4x3) = 4x3 - (4x3)^22 + (4x3)^33 - (4x3)^44 + cdots é conhecida e dada por:
Nesse caso, nosso é . Então, substituindo na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo da série:
  1. Primeiro termo:
4x3
  1. Segundo termo:
-(4x3)^22 = -16x^218 = -8x^29
  1. Terceiro termo:
(4x3)^33 = 64x^381 div 3 = 64x^3243
  1. Quarto termo:
-(4x3)^44 = -256x^4324 div 4 = -64x^481
E assim por diante. Podemos continuar expandindo quantos termos quisermos para aproximar a função com a precisão desejada.

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos a série de Taylor para f(x) = ln(3) + 4x3 - 8x^29 + 64x^3243 - 64x^481 + cdots :
Essa série nos aproxima a função para valores de próximos a 0.

Resposta

A série de Taylor centrada em ln(3) + 4x3 - 8x^29 + 64x^3243 - 64x^481 + cdots para a função é:

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