Considere em P2(R) o produto interno dado por
lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
Nestas condições, para qual valor de m, f(t)=m t^2-1 é ortogonal a g(t)=t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt tal que as funções e sejam ortogonais no espaço com o produto interno definido por
Isso significa que o produto interno entre e deve ser zero. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e propriedades de produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais nesse contexto. Duas funções lang<= f(t), g(t)rang<= = 0 e são ortogonais se o produto interno entre elas for igual a zero:
Então, nosso objetivo é calcular esse produto interno e igualá-lo a zero para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno:
lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt
Substituindo lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 (m t^2 - 1) cdot t , dt e (m t^2 - 1) cdot t = m t^3 - t , temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 (m t^3 - t) , dt = m integral0^1 t^3 , dt - integral0^1 t , dt
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro:
integral t^3 , dt = t^44 + C
Avaliado de 0 a 1:
t^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14
Segundo:
integral t , dt = t^22 + C
Avaliado de 0 a 1:
t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão do produto interno:
lang<= f(t), g(t)rang<= = m cdot 14 - 12
Simplificando:
lang<= f(t), g(t)rang<= = m4 - 12
Queremos que esse valor seja igual a zero para que m4 - 12 = 0 e sejam ortogonais:

Passo 6

Agora, vamos resolver para m4 = 12 :
m = 4 cdot 12 = 2
Multiplicando ambos os lados por 4:

Resposta

O valor de que torna ortogonal a é .

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