Nestas condições, para qual valor de é ortogonal a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de tal que as funções e sejam ortogonais no espaço com o produto interno definido por
Isso significa que o produto interno entre e deve ser zero. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e propriedades de produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais nesse contexto. Duas funções e são ortogonais se o produto interno entre elas for igual a zero:
Então, nosso objetivo é calcular esse produto interno e igualá-lo a zero para encontrar .
Passo 3
Vamos calcular o produto interno:
Substituindo e , temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro:
Avaliado de 0 a 1:
Segundo:
integral t , dt = t^22 + C
Avaliado de 0 a 1:
t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão do produto interno:
lang<= f(t), g(t)rang<= = m cdot 14 - 12
Simplificando:
lang<= f(t), g(t)rang<= = m4 - 12
Queremos que esse valor seja igual a zero para que m4 - 12 = 0 e sejam ortogonais: