Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
(a) Prove que
é um grupo;
(a) Prove que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, ou seja, todos os números racionais exceto
. A operação definida nesse conjunto é
. Nosso objetivo é provar que
forma um grupo. Para isso, precisamos verificar quatro propriedades fundamentais:
- Fechamento: Se
e estão em , então também está em . - Elemento identidade: Existe um elemento em
que, quando operado com qualquer outro elemento de , retorna esse elemento. - Existência de inversos: Para cada elemento em
, existe outro elemento em que o “anula” com a operação definida. - Associatividade: A operação é associativa, ou seja,
para todos .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificando o Fechamento
Queremos mostrar que se
e
pertencem a
, então
também pertence a
. Ou seja, precisamos provar que
para todo
.
Suponha que
. Podemos reescrever essa equação:
Agora, se
e
(já que ambos pertencem a
), então
e
. Portanto,
, o que significa que
. Assim, a operação é fechada em
.
Passo 3
Existência do Elemento Identidade
Precisamos encontrar um elemento
tal que, para todo
,
.
Vamos resolver a equação
:
Como
, temos
. Portanto, a única solução para
é
.
Verificamos se
: Como
,
pertence a
. Assim, o elemento identidade é
.
Passo 4
Existência de Inversos
Para cada
, precisamos encontrar um elemento
tal que
.
Vamos resolver a equação
:
Como
, o denominador
, garantindo que
está bem definido. Além disso,
porque:
Isso é uma contradição, então
, ou seja,
. Portanto, cada elemento
tem um inverso em
.
Passo 5
Associatividade
Precisamos mostrar que a operação
é associativa, ou seja, para todos
:
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando os dois resultados:
Os termos são iguais, portanto, a operação é associativa.
Resposta
Com isso, verificamos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo: fechamento, existência do elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Portanto,
é um grupo.
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Determine
tais que:
(a) .
(a)