Considere o conjunto G=Q backslash-1 munido da operação definida por x cdot y=x+y+x y.
(a) Prove que (G, cdot) é um grupo;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , ou seja, todos os números racionais exceto . A operação definida nesse conjunto é . Nosso objetivo é provar que forma um grupo. Para isso, precisamos verificar quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Se e estão em , então também está em .
  2. Elemento identidade: Existe um elemento em que, quando operado com qualquer outro elemento de , retorna esse elemento.
  3. Existência de inversos: Para cada elemento em , existe outro elemento em que o “anula” com a operação definida.
  4. Associatividade: A operação é associativa, ou seja, para todos .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando o Fechamento
Queremos mostrar que se x + y + xy = -1 xy + x + y + 1 = 0 (x + 1)(y + 1) = 1 e pertencem a , então também pertence a . Ou seja, precisamos provar que para todo .
Suponha que . Podemos reescrever essa equação:
Agora, se e (já que ambos pertencem a ), então e . Portanto, , o que significa que . Assim, a operação é fechada em .

Passo 3

Existência do Elemento Identidade
Precisamos encontrar um elemento x + e + xe = x e + xe = 0 e(1 + x) = 0 tal que, para todo , .
Vamos resolver a equação :
Como , temos . Portanto, a única solução para é .
Verificamos se : Como , pertence a . Assim, o elemento identidade é .

Passo 4

Existência de Inversos
Para cada x + y + xy = 0 y(1 + x) = -x y = -x1 + x , precisamos encontrar um elemento -x1 + x = -1 -x = -1 - x 0 = -1 tal que .
Vamos resolver a equação :
Como , o denominador , garantindo que está bem definido. Além disso, porque:
Isso é uma contradição, então , ou seja, . Portanto, cada elemento tem um inverso em .

Passo 5

Associatividade
Precisamos mostrar que a operação (x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z) é associativa, ou seja, para todos (x cdot y) cdot z = (x + y + xy) cdot z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz :
x cdot (y cdot z) = x cdot (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
x + y + xy + z + xz + yz + xyz = x + y + z + yz + xy + xz + xyz
Lado direito:
Comparando os dois resultados:
Os termos são iguais, portanto, a operação é associativa.

Resposta

Com isso, verificamos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo: fechamento, existência do elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Portanto, é um grupo.

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