Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar as equações das hipérboles relacionadas a essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles, e reorganizar a equação para chegar à forma padrão das hipérboles.
Passo 2
Observando a equação
, percebemos que todos os termos estão positivos, o que originalmente representa uma elipse. Contudo, queremos transformar essa equação para que ela represente uma hipérbole. Para isso, precisamos que um dos termos seja negativo.
Passo 3
Vamos modificar a equação original para que um dos termos tenha sinal negativo. Podemos escolher subtrair
de ambos os lados da equação:
Passo 4
Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão das hipérboles. A forma padrão é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação
por 50:
Passo 5
Simplificando as frações, temos:
Essa é uma das formas padrão das hipérboles, onde
e
.
Passo 6
Além disso, podemos considerar a outra orientação da hipérbole trocando os termos de posição:
Essa representação também é válida e mostra a hipérbole orientada de forma diferente.
Resposta
As equações das hipérboles são:
e
Exercícios relacionados
Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
(a) Mostre que .
(a) Mostre que
Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
(a) Prove que é um grupo;
(a) Prove que
Obtenha as equações das hipérboles, dados: