Obtenha as equações das hipérboles, dados: 2 x^2+y^2=50

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar as equações das hipérboles relacionadas a essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles, e reorganizar a equação para chegar à forma padrão das hipérboles.

Passo 2

Observando a equação , percebemos que todos os termos estão positivos, o que originalmente representa uma elipse. Contudo, queremos transformar essa equação para que ela represente uma hipérbole. Para isso, precisamos que um dos termos seja negativo.

Passo 3

Vamos modificar a equação original para que um dos termos tenha sinal negativo. Podemos escolher subtrair 2x^2 - y^2 = 50 de ambos os lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão das hipérboles. A forma padrão é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Para isso, dividimos todos os termos da equação 2x^250 - y^250 = 1 por 50:

Passo 5

Simplificando as frações, temos:
x^225 - y^250 = 1
Essa é uma das formas padrão das hipérboles, onde e .

Passo 6

Além disso, podemos considerar a outra orientação da hipérbole trocando os termos de posição:
y^225 - x^250 = 1
Essa representação também é válida e mostra a hipérbole orientada de forma diferente.

Resposta

As equações das hipérboles são:
x^225 - y^250 = 1
e
y^225 - x^250 = 1

Exercícios relacionados

Obtenha as equações das hipérboles, dados: x^2+9 y^2=9
Considere o grupo linear geral G Ln(K), onde K=Q, R ou C.
(a) Mostre que (cc-1 & 3 0 & 1) in G Ln(R).
Considere o conjunto G=Q backslash-1 munido da operação definida por x cdot y=x+y+x y.
(a) Prove que (G, cdot) é um grupo;
Obtenha as equações das hipérboles, dados: 3 x^2+4 y^2=12