Obtenha as equações das hipérboles, dados: 3 x^2+4 y^2=12

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: nós precisamos encontrar as equações das hipérboles a partir da equação dada . Vamos trabalhar com a matéria de Conic Sections, especificamente com as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma hipérbole e como transformá-la a partir da equação que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos: . Normalmente, a equação geral de uma hipérbole tem a forma ou , onde há um sinal de subtração entre os termos de e . No nosso caso, os dois termos estão somando, o que na verdade é a forma de uma elipse, não de uma hipérbole. Isso significa que talvez haja um erro no enunciado ou precisamos adaptar a equação para encontrarmos as hipérboles relacionadas.

Passo 3

Vamos assumir que queremos transformar essa equação em uma hipérbole. Para isso, precisamos que um dos termos seja negativo. Vamos reescrever a equação original:
3x^2 + 4y^2 = 12
Para transformar em hipérbole, mudamos o sinal de um dos termos:
3x^2 - 4y^2 = 12

Passo 4

Agora temos a equação 3x^212 - 4y^212 = 1, que é a forma geral de uma hipérbole. Para chegar na forma padrão, dividimos todos os termos por 12:
x^24 - y^23 = 1
Simplificando as frações:

Passo 5

Agora, a gente tem a equação na forma padrão da hipérbole:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Onde e . Então, e .

Passo 6

Com essas informações, podemos escrever as equações das hipérboles. A hipérbole padrão com o eixo transversal no eixo x^24 - y^23 = 1 é dada por:
y^23 - x^24 = 1
E a hipérbole com o eixo transversal no eixo seria:

Resposta

As equações das hipérboles são:
x^24 - y^23 = 1
e
y^23 - x^24 = 1

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