Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: nós precisamos encontrar as equações das hipérboles a partir da equação dada
. Vamos trabalhar com a matéria de Conic Sections, especificamente com as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma hipérbole e como transformá-la a partir da equação que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
. Normalmente, a equação geral de uma hipérbole tem a forma
ou
, onde há um sinal de subtração entre os termos de
e
. No nosso caso, os dois termos estão somando, o que na verdade é a forma de uma elipse, não de uma hipérbole. Isso significa que talvez haja um erro no enunciado ou precisamos adaptar a equação para encontrarmos as hipérboles relacionadas.
Passo 3
Vamos assumir que queremos transformar essa equação em uma hipérbole. Para isso, precisamos que um dos termos seja negativo. Vamos reescrever a equação original:
Para transformar em hipérbole, mudamos o sinal de um dos termos:
Passo 4
Agora temos a equação
, que é a forma geral de uma hipérbole. Para chegar na forma padrão, dividimos todos os termos por 12:
Simplificando as frações:
Passo 5
Agora, a gente tem a equação na forma padrão da hipérbole:
Onde
e
. Então,
e
.
Passo 6
Com essas informações, podemos escrever as equações das hipérboles. A hipérbole padrão com o eixo transversal no eixo
é dada por:
E a hipérbole com o eixo transversal no eixo
seria:
Resposta
As equações das hipérboles são:
e
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
(a) Prove que é um grupo;
(a) Prove que
Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Determine
tais que:
(a) .
(a)
Determine todos os elementos
tais que