Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de pelo menos três retas diferentes. Queremos provar que, se qualquer duas dessas retas se encontram em um ponto (ou seja, são concorrentes), então todas elas ou estão no mesmo plano ou todas passam pelo mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria plana e espacial, como plano, reta e ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas retas serem concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se intersectam em exatamente um ponto. Então, se peguei qualquer par de retas nesse conjunto, elas se cruzam em um ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos considerar três retas distintas:
,
e
. De acordo com o enunciado, qualquer par dessas retas se intersecta em um ponto. Vamos analisar as possíveis situações:
-
Todas as três retas passam pelo mesmo ponto.Se
, e se encontram no mesmo ponto , então todas as retas passam por , satisfazendo a segunda condição do enunciado. -
As retas não passam todas pelo mesmo ponto.Se não é o caso de todas passarem por um único ponto, então precisamos mostrar que todas estão no mesmo plano.
Passo 4
Vamos explorar a segunda situação onde as retas não têm um ponto comum. Escolha duas retas, digamos
e
, que se intersectam no ponto
. Como
é concorrente com
, ela também se intersecta com
em algum ponto. Há duas possibilidades:
-
também passa por : Nesse caso, todas as três retas passam pelo mesmo ponto , como na primeira situação. -
não passa por : Então, se intersecta com em outro ponto, digamos .
Passo 5
Se
se intersecta com
em
, e
também se intersecta com
, devemos considerar onde ocorre essa interseção. Como
e
se intersectam em
, o ponto de interseção de
com
deve também estar no mesmo plano definido por
,
e
. Portanto, todas as três retas estão contidas nesse plano.
Resposta
Assim, mostramos que se qualquer duas das retas são concorrentes, então todas elas ou estão no mesmo plano ou todas passam pelo mesmo ponto.
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Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
(Matrizes com o quadrado nulo) Seja
; seja
Mat
tal que
.
17.2 Mostrar que a matriz é invertível.
17.2 Mostrar que a matriz
Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
, com
linearmente dependentes e
ortogonal a estes dois últimos.
Resposta: e
Resposta: