Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de pelo menos três retas diferentes. Queremos provar que, se qualquer duas dessas retas se encontram em um ponto (ou seja, são concorrentes), então todas elas ou estão no mesmo plano ou todas passam pelo mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria plana e espacial, como plano, reta e ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas retas serem concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se intersectam em exatamente um ponto. Então, se peguei qualquer par de retas nesse conjunto, elas se cruzam em um ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos considerar três retas distintas: , e . De acordo com o enunciado, qualquer par dessas retas se intersecta em um ponto. Vamos analisar as possíveis situações:
  1. Todas as três retas passam pelo mesmo ponto.
    Se , e se encontram no mesmo ponto , então todas as retas passam por , satisfazendo a segunda condição do enunciado.
  2. As retas não passam todas pelo mesmo ponto.
    Se não é o caso de todas passarem por um único ponto, então precisamos mostrar que todas estão no mesmo plano.

Passo 4

Vamos explorar a segunda situação onde as retas não têm um ponto comum. Escolha duas retas, digamos e , que se intersectam no ponto . Como é concorrente com , ela também se intersecta com em algum ponto. Há duas possibilidades:
  • também passa por : Nesse caso, todas as três retas passam pelo mesmo ponto , como na primeira situação.
  • não passa por : Então, se intersecta com em outro ponto, digamos .

Passo 5

Se se intersecta com em , e também se intersecta com , devemos considerar onde ocorre essa interseção. Como e se intersectam em , o ponto de interseção de com deve também estar no mesmo plano definido por , e . Portanto, todas as três retas estão contidas nesse plano.

Resposta

Assim, mostramos que se qualquer duas das retas são concorrentes, então todas elas ou estão no mesmo plano ou todas passam pelo mesmo ponto.

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