Decomponha o vetor w=(1,0,3) como soma de dois vetores w1 e w2, com (w1,(1,1,1),(-1,1,2)) linearmente dependentes e w2 ortogonal a estes dois últimos.
Resposta: w1=(12, 32, 2) e w2=(12,-32, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decompor o vetor w = (1, 0, 3) em dois vetores, w1 e w2. A condição é que o conjunto formado por w1, (1,1,1) e (-1,1,2) seja linearmente dependente, e que w2 seja ortogonal aos dois vetores (1,1,1) e (-1,1,2). Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, dependência linear e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores w1, (1,1,1) e (-1,1,2) sejam linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares a, b e c, não todos zero, tais que:
aw1 + b(1,1,1) + c(-1,1,2) = (0,0,0)
Mas para simplificar, podemos pensar que w1 pode ser escrito como uma combinação dos outros dois vetores.

Passo 3

Vamos supor que w1 = alpha (1,1,1) + beta (-1,1,2), onde alpha e beta são escalares que precisamos encontrar. Assim:
w1 = (alpha - beta, alpha + beta, alpha + 2beta)

Passo 4

Agora, como w = w1 + w2, podemos escrever:
(1, 0, 3) = (alpha - beta, alpha + beta, alpha + 2beta) + w2
Dessa forma, podemos expressar w2 em função de alpha e beta:
w2 = (1 - (alpha - beta), 0 - (alpha + beta), 3 - (alpha + 2beta)) w2 = (1 - alpha + beta, -alpha - beta, 3 - alpha - 2beta)

Passo 5

A condição que w2 seja ortogonal a (1,1,1) e (-1,1,2) significa que o produto interno de w2 com esses vetores deve ser zero. Vamos estabelecer essas equações:
  1. w2 cdot (1,1,1) = 0:
(1 - alpha + beta) cdot 1 + (-alpha - beta) cdot 1 + (3 - alpha - 2beta) cdot 1 = 0 1 - alpha + beta - alpha - beta + 3 - alpha - 2beta = 0 4 - 3alpha - 2beta = 0
  1. w2 cdot (-1,1,2) = 0:
(1 - alpha + beta) cdot (-1) + (-alpha - beta) cdot 1 + (3 - alpha - 2beta) cdot 2 = 0 -1 + alpha - beta - alpha - beta + 6 - 2alpha - 4beta = 0 5 - 2alpha - 6beta = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 4 - 3alpha - 2beta = 0
  2. 5 - 2alpha - 6beta = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
  1. 8 - 6alpha - 4beta = 0
  2. 15 - 6alpha - 18beta = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(15 - 6alpha - 18beta) - (8 - 6alpha - 4beta) = 0 7 - 14beta = 0 14beta = 7 beta = 12
Agora, substituindo beta = 12 na primeira equação original:
4 - 3alpha - 2 cdot 12 = 0 4 - 3alpha - 1 = 0 3 - 3alpha = 0 alpha = 1

Passo 7

Com alpha = 1 e beta = 12, podemos encontrar w1:
w1 = (alpha - beta, alpha + beta, alpha + 2beta) w1 = (1 - 12, 1 + 12, 1 + 2 cdot 12) w1 = (12, 32, 2)
E w2:
w2 = (1 - 1 + 12, -1 - 12, 3 - 1 - 2 cdot 12) w2 = (12, -32, 1)

Resposta

w1=(12, 32, 2) e w2=(12,-32, 1)

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