Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
, com
linearmente dependentes e
ortogonal a estes dois últimos.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decompor o vetor
em dois vetores,
e
. A condição é que o conjunto formado por
,
e
seja linearmente dependente, e que
seja ortogonal aos dois vetores
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, dependência linear e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores
,
e
sejam linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares
,
e
, não todos zero, tais que:
Mas para simplificar, podemos pensar que
pode ser escrito como uma combinação dos outros dois vetores.
Passo 3
Vamos supor que
, onde
e
são escalares que precisamos encontrar. Assim:
Passo 4
Agora, como
, podemos escrever:
Dessa forma, podemos expressar
em função de
e
:
Passo 5
A condição que
seja ortogonal a
e
significa que o produto interno de
com esses vetores deve ser zero. Vamos estabelecer essas equações:
-
:
-
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo
na primeira equação original:
Passo 7
Com
e
, podemos encontrar
:
E
:
Resposta
Exercícios relacionados
(Matrizes com o quadrado nulo) Seja
; seja
Mat
tal que
.
17.2 Mostrar que a matriz é invertível.
17.2 Mostrar que a matriz
Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.3 .
19.3