Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
, com
linearmente dependentes e
ortogonal a estes dois últimos.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decompor o vetor
em dois vetores,
e
. A condição é que o conjunto formado por
,
e
seja linearmente dependente, e que
seja ortogonal aos dois vetores
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, dependência linear e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores
,
e
sejam linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares
,
e
, não todos zero, tais que:
Mas para simplificar, podemos pensar que
pode ser escrito como uma combinação dos outros dois vetores.
Passo 3
Vamos supor que
, onde
e
são escalares que precisamos encontrar. Assim:
Passo 4
Agora, como
, podemos escrever:
Dessa forma, podemos expressar
em função de
e
:
Passo 5
A condição que
seja ortogonal a
e
significa que o produto interno de
com esses vetores deve ser zero. Vamos estabelecer essas equações:
-
:
-
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo
na primeira equação original:
Passo 7
Com
e
, podemos encontrar
:
E
: