Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de : e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço de . Isso está dentro do assunto de Álgebra Linear, especificamente falando sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos lembrar quais são os critérios que um conjunto precisa atender para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa conter o vetor zero. O vetor zero em é . Vamos verificar se esse vetor pertence ao conjunto .

Passo 3

Substituindo no enunciado , temos . Também, . Portanto, o vetor zero seria . Mas o vetor zero verdadeiro é , que não está em porque o deveria ser 0, não 2. Então, já sabemos que não contém o vetor zero.

Passo 4

Além disso, mesmo que o conjunto não contenha o vetor zero, podemos explorar outros critérios. Um subespaço também precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos ver isso rapidinho. Se pegar dois vetores em , digamos e , a soma seria . Vemos que o segundo componente não segue a relação , então não é fechado sob adição.

Passo 5

Também, se multiplicarmos um vetor de por um escalar , teremos . Para isso ser válido, precisaríamos que , o que só acontece se ou . Ou seja, não é fechado sob multiplicação por escalar em geral.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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