(Matrizes com o quadrado nulo) Seja n in N; seja A in Mat n(R) tal que A^2=0.
17.2 Mostrar que a matriz In+A é invertível.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com entradas reais, e sabemos que quando multiplicamos por ela mesma, o resultado é a matriz nula, ou seja, . O objetivo é mostrar que a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de matriz invertível e usar propriedades de matrizes nilpotentes (matrizes cuja potência é zero).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz B cdot B^-1 = B^-1 cdot B = In é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade de ordem . Nosso objetivo é encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na identidade.

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que é uma matriz nilpotente de índice 2. Uma propriedade importante das matrizes nilpotentes é que a série de potências termina, pois para algum .

Passo 4

Vamos tentar encontrar a inversa de (In + A)(In + B) = In . Suponha que a inversa seja da forma In cdot In + In cdot B + A cdot In + A cdot B = In + B + A + A cdot B , onde In + B + A + A cdot B = In é alguma matriz que precisamos determinar. Então, temos:
B + A + A cdot B = 0
Expandindo o lado esquerdo:
Queremos que isso seja igual a , então:
Simplificando:

Passo 5

Vamos supor que (-A) + A + A cdot (-A) = 0 . Substituindo na equação acima:
0 - A^2 = 0
Simplificando:
Como , isso satisfaz a equação. Portanto, é uma solução válida.

Passo 6

Com isso, concluímos que a inversa de (In + A)(In - A) = In é . Isso significa que:
Confirmando que é de fato invertível.

Resposta

A matriz é invertível, e sua inversa é .

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