(Matrizes com o quadrado nulo) Seja
; seja
Mat
tal que
.
17.2 Mostrar que a matriz
é invertível.
17.2 Mostrar que a matriz
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com entradas reais, e sabemos que quando multiplicamos
por ela mesma, o resultado é a matriz nula, ou seja,
. O objetivo é mostrar que a matriz
é invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de matriz invertível e usar propriedades de matrizes nilpotentes (matrizes cuja potência é zero).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade de ordem
. Nosso objetivo é encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na identidade.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que
é uma matriz nilpotente de índice 2. Uma propriedade importante das matrizes nilpotentes é que a série de potências termina, pois
para algum
.
Passo 4
Vamos tentar encontrar a inversa de
. Suponha que a inversa seja da forma
, onde
é alguma matriz que precisamos determinar. Então, temos:
Expandindo o lado esquerdo:
Queremos que isso seja igual a
, então:
Simplificando:
Passo 5
Vamos supor que
. Substituindo na equação acima:
Simplificando:
Como
, isso satisfaz a equação. Portanto,
é uma solução válida.
Passo 6
Com isso, concluímos que a inversa de
é
. Isso significa que:
Confirmando que
é de fato invertível.
Resposta
A matriz
é invertível, e sua inversa é
.