(Matrizes com o quadrado nulo) Seja
; seja
Mat
tal que
.
17.2 Mostrar que a matriz
é invertível.
17.2 Mostrar que a matriz
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com entradas reais, e sabemos que quando multiplicamos
por ela mesma, o resultado é a matriz nula, ou seja,
. O objetivo é mostrar que a matriz
é invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de matriz invertível e usar propriedades de matrizes nilpotentes (matrizes cuja potência é zero).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade de ordem
. Nosso objetivo é encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na identidade.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que
é uma matriz nilpotente de índice 2. Uma propriedade importante das matrizes nilpotentes é que a série de potências termina, pois
para algum
.
Passo 4
Vamos tentar encontrar a inversa de
. Suponha que a inversa seja da forma
, onde
é alguma matriz que precisamos determinar. Então, temos:
Expandindo o lado esquerdo:
Queremos que isso seja igual a
, então:
Simplificando:
Passo 5
Vamos supor que
. Substituindo na equação acima:
Simplificando:
Como
, isso satisfaz a equação. Portanto,
é uma solução válida.
Passo 6
Com isso, concluímos que a inversa de
é
. Isso significa que:
Confirmando que
é de fato invertível.
Resposta
A matriz
é invertível, e sua inversa é
.
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Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
, com
linearmente dependentes e
ortogonal a estes dois últimos.
Resposta: e
Resposta:
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e