Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Estamos trabalhando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então a soma também está em (fechamento pela adição). - Se
está em e é um escalar, então está em (fechamento pela multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
-
⇒ ⇒ ✔️ -
⇒ ✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
- Vetor
onde e . - Vetor
onde e .
Agora, somamos
e
:
Observamos que:
- O primeiro componente é
vezes o segundo componente. - O terceiro componente é
.
Portanto,
também satisfaz as condições de
, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
- Vetor
onde e .
Agora, multiplicamos
por um escalar
:
Observamos que:
- O primeiro componente é
vezes o segundo componente. - O terceiro componente é
.
Portanto,
também satisfaz as condições de
, ou seja, está em
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.