Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de : e

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Estamos trabalhando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então a soma também está em (fechamento pela adição).
  3. Se está em e é um escalar, então está em (fechamento pela multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
  • Vetor onde e .
  • Vetor onde e .
Agora, somamos e :
Observamos que:
  • O primeiro componente é vezes o segundo componente.
  • O terceiro componente é .
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Passo 5

3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em :
  • Vetor onde e .
Agora, multiplicamos por um escalar :
Observamos que:
  • O primeiro componente é vezes o segundo componente.
  • O terceiro componente é .
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Determine o menor ângulo formado pelas as retas: e . R.:
(Produtos notáveis) Sejam as matrizes dadas
11.2 Comparar as duas matrizes e .
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de : e
Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.