Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y, z) in R^3 ; x=4 y e z=0

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Estamos trabalhando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então a soma também está em (fechamento pela adição).
  3. Se está em e é um escalar, então está em (fechamento pela multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
  • Vetor onde e .
  • Vetor onde e .
Agora, somamos e :
Observamos que:
  • O primeiro componente é vezes o segundo componente.
  • O terceiro componente é .
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Passo 5

3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em :
  • Vetor onde e .
Agora, multiplicamos por um escalar :
Observamos que:
  • O primeiro componente é vezes o segundo componente.
  • O terceiro componente é .
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

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