Considere o conjunto munido da sua estrutura usual de espaço vetorial e munido do produto interno dado por
Depois considere o subconjunto de . Encontre o complemento ortogonal .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o complemento ortogonal do conjunto no espaço vetorial das polinômios de grau no máximo 2, , usando o produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como usar o produto interno para encontrar todos os polinômios que são “perpendiculares” a todos os elementos de .

Passo 2

Primeiro, o que é complemento ortogonal? Em um espaço vetorial com produto interno, o complemento ortogonal de um conjunto , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja, queremos todos os polinômios tais que:
No nosso caso, isso significa que deve satisfazer:

Passo 3

Vamos supor que é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que satisfazem as duas equações de ortogonalidade mencionadas.

Passo 4

Vamos começar escrevendo as duas equações de ortogonalidade substituindo :
Agora, vamos expandir os produtos dentro das integrais e calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
çã

Passo 6

Segunda integral:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 60 para eliminar as frações:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 15 e a Equação 2 por 10 para igualar os coeficientes de :
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora, substituímos na Equação 1:
çã

Passo 8

Com as relações encontradas:
Podemos expressar em termos de :
Para simplificar, podemos escolher (para eliminar denominadores):
Então, qualquer múltiplo desse polinômio pertence a .

Resposta

O complemento ortogonal é o conjunto dos polinômios da forma
onde é um número real. Portanto,

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Verifique se são operadores lineares no espaço :
(a) tal que ;
(b) tal que .
Defina a transformação linear tal que Determine uma base e dimensão para a imagem de .
Determine .
a) e
Determine o centro, os focos e os vértices da elipse de interseç̧ão do elipsóide com o plano .
(a) ;
(b) .