Considere o conjunto
munido da sua estrutura usual de espaço vetorial e munido do produto interno dado por
Depois considere o subconjunto
de
. Encontre o complemento ortogonal
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o complemento ortogonal do conjunto
no espaço vetorial das polinômios de grau no máximo 2,
, usando o produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como usar o produto interno para encontrar todos os polinômios que são “perpendiculares” a todos os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, o que é complemento ortogonal? Em um espaço vetorial com produto interno, o complemento ortogonal de um conjunto
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de
. Ou seja, queremos todos os polinômios
tais que:
No nosso caso, isso significa que
deve satisfazer:
Passo 3
Vamos supor que
é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
que satisfazem as duas equações de ortogonalidade mencionadas.
Passo 4
Vamos começar escrevendo as duas equações de ortogonalidade substituindo
:
Agora, vamos expandir os produtos dentro das integrais e calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
Passo 6
Segunda integral:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 60 para eliminar as frações:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre
,
e
.
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 15 e a Equação 2 por 10 para igualar os coeficientes de
:
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora, substituímos
na Equação 1:
Passo 8
Com as relações encontradas:
Podemos expressar
em termos de
:
Para simplificar, podemos escolher
(para eliminar denominadores):
Então, qualquer múltiplo desse polinômio pertence a
.
Resposta
O complemento ortogonal
é o conjunto dos polinômios da forma
onde
é um número real. Portanto,