Considere o conjunto munido da sua estrutura usual de espaço vetorial e munido do produto interno dado por
Depois considere o subconjunto de . Encontre o complemento ortogonal .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o complemento ortogonal do conjunto no espaço vetorial das polinômios de grau no máximo 2, , usando o produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como usar o produto interno para encontrar todos os polinômios que são “perpendiculares” a todos os elementos de .
Passo 2
Primeiro, o que é complemento ortogonal? Em um espaço vetorial com produto interno, o complemento ortogonal de um conjunto , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja, queremos todos os polinômios tais que:
No nosso caso, isso significa que deve satisfazer:
Passo 3
Vamos supor que é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que satisfazem as duas equações de ortogonalidade mencionadas.
Passo 4
Vamos começar escrevendo as duas equações de ortogonalidade substituindo :
Agora, vamos expandir os produtos dentro das integrais e calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
Passo 6
Segunda integral:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Multiplicando todos os termos por 60 para eliminar as frações:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 15 e a Equação 2 por 10 para igualar os coeficientes de :
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora, substituímos na Equação 1:
Passo 8
Com as relações encontradas:
Podemos expressar em termos de :
Para simplificar, podemos escolher (para eliminar denominadores):
Então, qualquer múltiplo desse polinômio pertence a .
Resposta
O complemento ortogonal é o conjunto dos polinômios da forma