Considere o conjunto P2(R) munido da sua estrutura usual de espaço vetorial e munido do produto interno dado por
lang<= p, qrang<=:=integral0^1 p(x) q(x) d x
Depois considere o subconjunto S=1+x, 1-x^2 de P2(R). Encontre o complemento ortogonal S^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o complemento ortogonal do conjunto lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx no espaço vetorial das polinômios de grau no máximo 2, , usando o produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como usar o produto interno para encontrar todos os polinômios que são “perpendiculares” a todos os elementos de .

Passo 2

Primeiro, o que é complemento ortogonal? Em um espaço vetorial com produto interno, o complemento ortogonal de um conjunto lang<= p, s rang<= = 0 para todo s in S , denotado por integral0^1 p(x) (1 + x) , dx = 0 e integral0^1 p(x) (1 - x^2) , dx = 0 , é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja, queremos todos os polinômios tais que:
No nosso caso, isso significa que deve satisfazer:

Passo 3

Vamos supor que p(x) = a + b x + c x^2 é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que satisfazem as duas equações de ortogonalidade mencionadas.

Passo 4

Vamos começar escrevendo as duas equações de ortogonalidade substituindo integral0^1 (a + b x + c x^2)(1 + x) , dx = 0 :
integral0^1 (a + b x + c x^2)(1 - x^2) , dx = 0
Agora, vamos expandir os produtos dentro das integrais e calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
integral0^1 (a(1) + a x + b x (1) + b x^2 + c x^2 (1) + c x^3) , dx = 0
Simplificando:
integral0^1 (a + a x + b x + b x^2 + c x^2 + c x^3) , dx = 0
Integrando termo a termo:
a integral0^1 1 , dx + a integral0^1 x , dx + b integral0^1 x , dx + b integral0^1 x^2 , dx + c integral0^1 x^2 , dx + c integral0^1 x^3 , dx = 0
Calculando as integrais:
a [1] + a [12] + b [12] + b [13] + c [13] + c [14] = 0
Simplificando:
a + a2 + b2 + b3 + c3 + c4 = 0
Combinando termos semelhantes:
3a2 + 5b6 + 7c12 = 0
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar as frações:
18a + 10b + 7c = 0 (Equação 1) çã

Passo 6

Segunda integral:
integral0^1 (a + b x + c x^2)(1 - x^2) , dx = 0
Expandindo:
integral0^1 (a - a x^2 + b x - b x^3 + c x^2 - c x^4) , dx = 0
Integrando termo a termo:
a integral0^1 1 , dx - a integral0^1 x^2 , dx + b integral0^1 x , dx - b integral0^1 x^3 , dx + c integral0^1 x^2 , dx - c integral0^1 x^4 , dx = 0
Calculando as integrais:
a [1] - a [13] + b [12] - b [14] + c [13] - c [15] = 0
Simplificando:
a - a3 + b2 - b4 + c3 - c5 = 0
Combinando termos semelhantes:
2a3 + b4 + 2c15 = 0
Multiplicando todos os termos por 60 para eliminar as frações:
40a + 15b + 8c = 0 (Equação 2) çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
18a + 10b + 7c = 0 (Equação 1) 40a + 15b + 8c = 0 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre 270a + 150b + 105c = 0 400a + 150b + 80c = 0 , (400a - 270a) + (150b - 150b) + (80c - 105c) = 0 130a - 25c = 0 130a = 25c c = 13025a c = 265a e 18a + 10b + 7(265a) = 0 18a + 10b + 1825a = 0 Mu.
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 15 e a Equação 2 por 10 para igualar os coeficientes de :
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora, substituímos na Equação 1:
çã

Passo 8

Com as relações encontradas:
b = -13625a e c = 265a
Podemos expressar p(x) = a + (-13625a)x + (265a)x^2 p(x) = a(1 - 13625x + 265x^2) em termos de p(x) = 25(1 - 13625x + 265x^2) p(x) = 25 - 136x + 130x^2 :
Para simplificar, podemos escolher (para eliminar denominadores):
Então, qualquer múltiplo desse polinômio pertence a .

Resposta

O complemento ortogonal p(x) = k (25 - 136x + 130x^2), é o conjunto dos polinômios da forma
S^perp = , k(25 - 136x + 130x^2) ;g|; k in R ,
onde é um número real. Portanto,

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