Defina a transformação linear tal que Determine uma base e dimensão para a imagem de .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Isso envolve conceitos de transformações lineares, imagem de uma transformação e bases vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que você pode obter aplicando a qualquer vetor de . Basicamente, é o “espaço de saída” da transformação.

Passo 3

Para encontrar a imagem de , precisamos ver quais combinações de geram os vetores em . Vamos escrever a transformação nas componentes:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de tem a forma .

Passo 4

Agora, vamos expressar isso de forma matricial para facilitar a análise:
A matriz associada à transformação é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 5

Vamos identificar as colunas de :
A imagem de é o espaço gerado por e .

Passo 6

Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Para isso, podemos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, encontramos que . Isso indica que as colunas não são todas independentes.

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem, selecionamos os vetores que são linearmente independentes. Observamos que e s��o independentes, pois não é possível escrever um como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para .

Passo 8

A dimensão da imagem de é o número de vetores na base que encontramos. Como temos duas vetores na base , a dimensão da imagem é 2.

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelos vetores e , e a dimensão da imagem de é 2.

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(a) tal que ;
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Depois considere o subconjunto de . Encontre o complemento ortogonal .