Defina a transformação linear tal que Determine uma base e dimensão para a imagem de .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Isso envolve conceitos de transformações lineares, imagem de uma transformação e bases vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que você pode obter aplicando a qualquer vetor de . Basicamente, é o “espaço de saída” da transformação.
Passo 3
Para encontrar a imagem de , precisamos ver quais combinações de geram os vetores em . Vamos escrever a transformação nas componentes:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de tem a forma .
Passo 4
Agora, vamos expressar isso de forma matricial para facilitar a análise:
A matriz associada à transformação é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.
Passo 5
Vamos identificar as colunas de :
A imagem de é o espaço gerado por e .
Passo 6
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Para isso, podemos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, encontramos que . Isso indica que as colunas não são todas independentes.
Passo 7
Para encontrar uma base para a imagem, selecionamos os vetores que são linearmente independentes. Observamos que e s��o independentes, pois não é possível escrever um como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para .
Passo 8
A dimensão da imagem de é o número de vetores na base que encontramos. Como temos duas vetores na base , a dimensão da imagem é 2.
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelos vetores e , e a dimensão da imagem de é 2.