(5,0) Defina a transformação linear F: R^3 R^2 tal que F(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z) Determine uma base e dimensão para a imagem de F.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Isso envolve conceitos de transformações lineares, imagem de uma transformação e bases vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que você pode obter aplicando a qualquer vetor de . Basicamente, é o “espaço de saída” da transformação.

Passo 3

Para encontrar a imagem de F(x, y, z) = x + y 2x - y + z , precisamos ver quais combinações de geram os vetores em . Vamos escrever a transformação nas componentes:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de tem a forma .

Passo 4

Agora, vamos expressar isso de forma matricial para facilitar a análise:
F x y z = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 x y z
A matriz associada à transformação A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 5

Vamos identificar as colunas de v1 = 1 2 , v2 = 1 -1 , v3 = 0 1 :
A imagem de é o espaço gerado por e .

Passo 6

Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Para isso, podemos montar uma combinação linear igual a zero:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
Isso resulta no sistema:
c1 + c2 = 0 2c1 - c2 + c3 = 0
Resolvendo, encontramos que . Isso indica que as colunas não são todas independentes.

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem, selecionamos os vetores que são linearmente independentes. Observamos que e s��o independentes, pois não é possível escrever um como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para .

Passo 8

A dimensão da imagem de é o número de vetores na base que encontramos. Como temos duas vetores na base , a dimensão da imagem é 2.

Resposta

Uma base para a imagem de 1 2 é formada pelos vetores 1 -1 e , e a dimensão da imagem de é 2.

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