Verifique se são operadores lineares no espaço :
(a) tal que ;
(b) tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são operadores lineares no espaço dos polinômios de grau até , denotado por . Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele se comporta. Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício e ver se as funções dadas cumprem as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Escalar:
Se essas duas propriedades forem satisfeitas, então é um operador linear.
Passo 3
Vamos analisar a parte (a) do exercício:
Aqui, pega um polinômio e multiplica sua derivada por .
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja e dois polinômios em :
Isso mostra que a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.
Passo 6
Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a função definida na parte (a) é um operador linear.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Aqui, pega um polinômio , soma a sua primeira derivada com vezes a sua segunda derivada.
Passo 8
Vamos verificar a propriedade da adição para essa função. Seja e dois polinômios em :
Por outro lado:
Vemos que:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 9
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.
Passo 10
Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que a função definida na parte (b) também é um operador linear.