Verifique se são operadores lineares no espaço
:
(a)
tal que
;
(b)
tal que
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são operadores lineares no espaço dos polinômios de grau até
, denotado por
. Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele se comporta. Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício e ver se as funções dadas cumprem as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador
é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Escalar:
Se essas duas propriedades forem satisfeitas, então
é um operador linear.
Passo 3
Vamos analisar a parte (a) do exercício:
Aqui,
pega um polinômio
e multiplica sua derivada por
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja
e
dois polinômios em
:
Isso mostra que a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja
um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.
Passo 6
Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a função definida na parte (a) é um operador linear.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Aqui,
pega um polinômio
, soma a sua primeira derivada com
vezes a sua segunda derivada.
Passo 8
Vamos verificar a propriedade da adição para essa função. Seja
e
dois polinômios em
:
Por outro lado:
Vemos que:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 9
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja
um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.
Passo 10
Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que a função definida na parte (b) também é um operador linear.
Resposta
Sim,
é um operador linear em
.