Verifique se são operadores lineares no espaço :
(a) tal que ;
(b) tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são operadores lineares no espaço dos polinômios de grau até , denotado por . Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele se comporta. Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício e ver se as funções dadas cumprem as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Se essas duas propriedades forem satisfeitas, então é um operador linear.

Passo 3

Vamos analisar a parte (a) do exercício:
Aqui, pega um polinômio e multiplica sua derivada por .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja e dois polinômios em :
Isso mostra que a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.

Passo 6

Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a função definida na parte (a) é um operador linear.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Aqui, pega um polinômio , soma a sua primeira derivada com vezes a sua segunda derivada.

Passo 8

Vamos verificar a propriedade da adição para essa função. Seja e dois polinômios em :
Por outro lado:
Vemos que:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 9

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.

Passo 10

Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que a função definida na parte (b) também é um operador linear.

Resposta

Sim, é um operador linear em .

Exercícios relacionados

Defina a transformação linear tal que Determine uma base e dimensão para a imagem de .
Encontre os autovalores e autovetores das matrizes
Considere o conjunto munido da sua estrutura usual de espaço vetorial e munido do produto interno dado por
Depois considere o subconjunto de . Encontre o complemento ortogonal .
Determine .
a) e