Verifique se são operadores lineares no espaço Pn(R) :
(a) F: Pn(R) Pn(R) tal que F(f(t))=tf^prime(t), forall f(t) in Pn(R);
(b) F: Pn(R) Pn(R) tal que F(f(t))=f^prime(t)+t^2 f^prime prime(t), forall f(t) in Pn(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certas funções são operadores lineares no espaço dos polinômios de grau até , denotado por . Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele se comporta. Vamos dar uma olhada em cada parte do exercício e ver se as funções dadas cumprem as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Se essas duas propriedades forem satisfeitas, então é um operador linear.

Passo 3

Vamos analisar a parte (a) do exercício:
F(f(t)) = t f'(t)
Aqui, pega um polinômio e multiplica sua derivada por .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja F(f(t) + g(t)) = t (f(t) + g(t))' = t (f'(t) + g'(t)) = t f'(t) + t g'(t) = F(f(t)) + F(g(t)) e dois polinômios em :
Isso mostra que a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja F(alpha f(t)) = t (alpha f(t))' = t (alpha f'(t)) = alpha t f'(t) = alpha F(f(t)) um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.

Passo 6

Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a função definida na parte (a) é um operador linear.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
F(f(t)) = f'(t) + t^2 f''(t)
Aqui, pega um polinômio , soma a sua primeira derivada com vezes a sua segunda derivada.

Passo 8

Vamos verificar a propriedade da adição para essa função. Seja F(f(t) + g(t)) = (f(t) + g(t))' + t^2 (f(t) + g(t))'' = f'(t) + g'(t) + t^2 (f''(t) + g''(t)) e F(f(t)) + F(g(t)) = [f'(t) + t^2 f''(t)] + [g'(t) + t^2 g''(t)] = f'(t) + g'(t) + t^2 f''(t) + t^2 g''(t) dois polinômios em F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) :
Por outro lado:
Vemos que:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 9

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Seja F(alpha f(t)) = (alpha f(t))' + t^2 (alpha f(t))'' = alpha f'(t) + t^2 alpha f''(t) = alpha (f'(t) + t^2 f''(t)) = alpha F(f(t)) um escalar:
Portanto, a propriedade escalar também é satisfeita.

Passo 10

Como ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que a função definida na parte (b) também é um operador linear.

Resposta

Sim, é um operador linear em .

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