Determine o centro, os focos e os vértices da elipse de interseç̧ão do elipsóide com o plano pi.
(a) x^2 / 64+y^2 / 100+z^2=1 ; pi: y-5=0;
(b) 4 x^2+4 y^2+9 z^2-2=0 ; pi: z+1 / 3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o centro, os focos e os vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. Isso envolve geometria espacial e um pouco de álgebra. Vamos precisar usar as equações do elipsóide e do plano para descobrir como eles se cortam e, daí, determinar as características da elipse resultante.

Parte (a) x^2 / 64 + y^2 / 100 + z^2 = 1 ; pi: y - 5 = 0

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A equação x^2 / 64 + y^2 / 100 + z^2 = 1 representa um elipsóide centrado na origem (0,0,0). O plano pi: y - 5 = 0 é um plano paralelo ao eixo xz deslocado 5 unidades no eixo y.

Passo 3

Para encontrar a interseção, substituímos y = 5 na equação do elipsóide:
x^264 + 5^2100 + z^2 = 1
Simplificando:
x^264 + 25100 + z^2 = 1 x^264 + 0.25 + z^2 = 1 x^264 + z^2 = 0.75

Passo 4

Dividindo todos os termos por 0.75 para simplificar:
x^264 times 10.75 + z^21 times 10.75 = 1 x^2640.75 + z^210.75 = 1 x^22563 + z^243 = 1
Isso nos dá a equação da elipse no plano.

Passo 5

Agora, identificamos os parâmetros da elipse padrão x^2a^2 + z^2b^2 = 1. Aqui, a^2 = 2563 e b^2 = 43.
Calculando a e b:
a = raiz2563 = 16raiz3 b = raiz43 = 2raiz3

Passo 6

O centro da elipse está no ponto de interseção do plano com o elipsóide, que é (0,5,0).
Os vértices estão a uma distância a ao longo do eixo x e a distância b ao longo do eixo z:
Vértices: ( pm 16raiz3, 5, 0 ) Vértices menores: ( 0, 5, pm 2raiz3 ) éé
Para encontrar os focos, usamos a relação c = raiza^2 - b^2:
c = raiz2563 - 43 = raiz2523 = raiz84 = 2raiz21
Então, os focos estão a c unidades ao longo do eixo x:
Focos: ( pm 2raiz21, 5, 0 )

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício, que também envolve encontrar o centro, focos e vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. As equações dadas são 4x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 2 = 0 e o plano pi: z + 13 = 0.

Passo 8

Primeiro, vamos rearranjar a equação do elipsóide para deixá-la na forma padrão. A equação 4x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 2 = 0 pode ser escrita como:
x^212 + y^212 + z^229 = 1
Assim, identificamos os semi-eixos:
a^2 = 12, b^2 = 12, c^2 = 29
Mas, para simplificar, vamos trabalhar diretamente com a forma dada.

Passo 9

O plano pi: z + 13 = 0 pode ser reescrito como z = -13. Vamos substituir esse valor de z na equação do elipsóide para encontrar a equação da elipse de interseção:
4x^2 + 4y^2 + 9(-13)^2 - 2 = 0 4x^2 + 4y^2 + 9(19) - 2 = 0 4x^2 + 4y^2 + 1 - 2 = 0 4x^2 + 4y^2 - 1 = 0 4x^2 + 4y^2 = 1 x^214 + y^214 = 1

Passo 10

A equação x^214 + y^214 = 1 representa uma elipse com centro na origem do sistema de coordenadas do plano z = -13. Os semi-eixos são:
a = 12, b = 12
Como a = b, na verdade, a interseção é um círculo.

Passo 11

Apesar de ser um círculo, podemos tratá-lo como uma elipse onde os focos coincidem com o centro. Portanto:
  • Centro da elipse: (0, 0, -13)
  • Vértices da elipse: Como é um círculo, os vértices ao longo dos eixos x e y são:
(pm 12, 0, -13) e (0, pm 12, -13)
  • Focos da elipse: Ambos os focos estão no centro:
(0, 0, -13)

Resposta

Parte (b)

  • Centro da elipse: (0, 0, -13)
  • Vértices da elipse: ( pm 12, 0, -13 ) e ( 0, pm 12, -13 )
  • Focos da elipse: (0, 0, -13)

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