Determine o centro, os focos e os vértices da elipse de interseç̧ão do elipsóide com o plano .
(a) ;
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o centro, os focos e os vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. Isso envolve geometria espacial e um pouco de álgebra. Vamos precisar usar as equações do elipsóide e do plano para descobrir como eles se cortam e, daí, determinar as características da elipse resultante.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos. A equação representa um elipsóide centrado na origem (0,0,0). O plano é um plano paralelo ao eixo xz deslocado 5 unidades no eixo y.
Passo 3
Para encontrar a interseção, substituímos na equação do elipsóide:
Simplificando:
Passo 4
Dividindo todos os termos por 0.75 para simplificar:
Isso nos dá a equação da elipse no plano.
Passo 5
Agora, identificamos os parâmetros da elipse padrão . Aqui, e .
Calculando e :
Passo 6
O centro da elipse está no ponto de interseção do plano com o elipsóide, que é .
Os vértices estão a uma distância ao longo do eixo x e a distância ao longo do eixo z:
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a unidades ao longo do eixo x:
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício, que também envolve encontrar o centro, focos e vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. As equações dadas são e o plano .
Passo 8
Primeiro, vamos rearranjar a equação do elipsóide para deixá-la na forma padrão. A equação pode ser escrita como:
Assim, identificamos os semi-eixos:
Mas, para simplificar, vamos trabalhar diretamente com a forma dada.
Passo 9
O plano pode ser reescrito como . Vamos substituir esse valor de na equação do elipsóide para encontrar a equação da elipse de interseção:
Passo 10
A equação representa uma elipse com centro na origem do sistema de coordenadas do plano . Os semi-eixos são:
Como , na verdade, a interseção é um círculo.
Passo 11
Apesar de ser um círculo, podemos tratá-lo como uma elipse onde os focos coincidem com o centro. Portanto:
Centro da elipse:
Vértices da elipse: Como é um círculo, os vértices ao longo dos eixos x e y são: