Determine o centro, os focos e os vértices da elipse de interseç̧ão do elipsóide com o plano .
(a) ;
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o centro, os focos e os vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. Isso envolve geometria espacial e um pouco de álgebra. Vamos precisar usar as equações do elipsóide e do plano para descobrir como eles se cortam e, daí, determinar as características da elipse resultante.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A equação representa um elipsóide centrado na origem (0,0,0). O plano é um plano paralelo ao eixo xz deslocado 5 unidades no eixo y.

Passo 3

Para encontrar a interseção, substituímos na equação do elipsóide:
Simplificando:

Passo 4

Dividindo todos os termos por 0.75 para simplificar:
Isso nos dá a equação da elipse no plano.

Passo 5

Agora, identificamos os parâmetros da elipse padrão . Aqui, e .
Calculando e :

Passo 6

O centro da elipse está no ponto de interseção do plano com o elipsóide, que é .
Os vértices estão a uma distância ao longo do eixo x e a distância ao longo do eixo z:
éé
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a unidades ao longo do eixo x:

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício, que também envolve encontrar o centro, focos e vértices da elipse formada pela interseção de um elipsóide com um plano. As equações dadas são e o plano .

Passo 8

Primeiro, vamos rearranjar a equação do elipsóide para deixá-la na forma padrão. A equação pode ser escrita como:
Assim, identificamos os semi-eixos:
Mas, para simplificar, vamos trabalhar diretamente com a forma dada.

Passo 9

O plano pode ser reescrito como . Vamos substituir esse valor de na equação do elipsóide para encontrar a equação da elipse de interseção:

Passo 10

A equação representa uma elipse com centro na origem do sistema de coordenadas do plano . Os semi-eixos são:
Como , na verdade, a interseção é um círculo.

Passo 11

Apesar de ser um círculo, podemos tratá-lo como uma elipse onde os focos coincidem com o centro. Portanto:
  • Centro da elipse:
  • Vértices da elipse: Como é um círculo, os vértices ao longo dos eixos x e y são:
  • Focos da elipse: Ambos os focos estão no centro:

Resposta

Parte (b)

  • Centro da elipse:
  • Vértices da elipse: e
  • Focos da elipse:

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