Considere o conjunto dos números racionais positivos
, com a operação
, definida por
, para todo
. Mostre que
é um grupo.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é o conjunto dos números racionais positivos, que a gente representa por
. A operação que a gente vai usar para ver se isso forma um grupo é o
, definido por
. O grupo é uma estrutura matemática que precisa seguir algumas regras básicas, como ter uma operação associativa, um elemento identidade e inversos para cada elemento. Então, para mostrar que
é um grupo, a gente vai checar cada uma dessas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a operação
é fechada em
. Isso significa que, se a gente pegar dois números racionais positivos
e
, o resultado de
também precisa ser um número racional positivo. Vamos calcular:
Como
e
são positivos e a multiplicação de dois números positivos dá outro positivo, e dividir por 2 também mantém o número positivo, então
é de fato um número racional positivo. Portanto, a operação é fechada.
Passo 3
Agora, vamos checar se a operação
é associativa. Isso quer dizer que, para quaisquer três números racionais positivos
,
e
, a gente tem que ter:
Vamos calcular os dois lados:
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Como ambos os lados são iguais, a operação
é associativa.
Passo 4
Vamos encontrar o elemento identidade em
para a operação
. O elemento identidade
precisa satisfazer:
Substituindo na definição de
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo e diferente de zero):
Então, o elemento identidade é
.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o inverso de cada elemento
em relação à operação
. O inverso
precisa satisfazer:
Substituindo na definição de
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, o inverso de
é
, que é também um número racional positivo.
Resposta
Como todas as propriedades de um grupo estão satisfeitas,
é um grupo.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de todas as funções
definidas por
para cada
e cada par ordenado de números reais
com
. Mostre que
é um grupo , com a operação de composição de funções.
Defina uma relação
sobre
, como sendo:
Mostre que
é uma relação de equivalência. Descreva as classes [0] e [(
.
Encontre
, sendo:
e
Considere o conjunto dos números reais
, com a operação
, dada por
, para todo
. Mostre que
é um grupo. Se a mesma operação for definida sobre os números inteiros
, teríamos
um grupo?