Considere o conjunto dos números racionais positivos Q^+, com a operação *, definida por a * b=a b2, para todo a, b in Q^+. Mostre que (Q^+, *) é um grupo.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é o conjunto dos números racionais positivos, que a gente representa por Q^+. A operação que a gente vai usar para ver se isso forma um grupo é o *, definido por a * b = a cdot b2. O grupo é uma estrutura matemática que precisa seguir algumas regras básicas, como ter uma operação associativa, um elemento identidade e inversos para cada elemento. Então, para mostrar que (Q^+, *) é um grupo, a gente vai checar cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a operação * é fechada em Q^+. Isso significa que, se a gente pegar dois números racionais positivos a e b, o resultado de a * b também precisa ser um número racional positivo. Vamos calcular:
a * b = a cdot b2
Como a e b são positivos e a multiplicação de dois números positivos dá outro positivo, e dividir por 2 também mantém o número positivo, então a * b é de fato um número racional positivo. Portanto, a operação é fechada.

Passo 3

Agora, vamos checar se a operação * é associativa. Isso quer dizer que, para quaisquer três números racionais positivos a, b e c, a gente tem que ter:
(a * b) * c = a * (b * c)
Vamos calcular os dois lados:
Primeiro, calculando (a * b) * c:
(a * b) * c = (a cdot b2) cdot c2 = a cdot b cdot c4
Agora, calculando a * (b * c):
a * (b * c) = a cdot (b cdot c2)2 = a cdot b cdot c4
Como ambos os lados são iguais, a operação * é associativa.

Passo 4

Vamos encontrar o elemento identidade em Q^+ para a operação *. O elemento identidade e precisa satisfazer:
a * e = a para todo a in Q^+
Substituindo na definição de *:
a cdot e2 = a
Multiplicando ambos os lados por 2:
a cdot e = 2a
Dividindo ambos os lados por a (que é positivo e diferente de zero):
e = 2
Então, o elemento identidade é 2.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o inverso de cada elemento a in Q^+ em relação à operação *. O inverso a^-1 precisa satisfazer:
a * a^-1 = 2
Substituindo na definição de *:
a cdot a^-12 = 2
Multiplicando ambos os lados por 2:
a cdot a^-1 = 4
Dividindo ambos os lados por a:
a^-1 = 4a
Então, o inverso de a é 4a, que é também um número racional positivo.

Resposta

Como todas as propriedades de um grupo estão satisfeitas, (Q^+, *) é um grupo.

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