Defina uma relação R sobre Q, como sendo: forall x, y in Q
x R y Long<=ftrightarrow 2(x-y) in Z
Mostre que R é uma relação de equivalência. Descreva as classes [0] e [( 14)].

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma relação sobre os números racionais , onde dois números e estão relacionados se for um número inteiro. O conteúdo envolvido aqui é relações de equivalência, e para mostrar que é uma relação de equivalência, vamos precisar verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Depois, vamos descrever as classes de equivalência de e .

Passo 2

Vamos começar verificando se é reflexiva. Isso significa que qualquer número deve estar relacionado consigo mesmo. Vamos ver:
, que é um número inteiro.
Então, é verdadeiro para todo . Portanto, é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é simétrica. Isso quer dizer que se está relacionado com , então também deve estar relacionado com . Se , temos que:
.
Mas , e como a relação envolve números inteiros, isso também implica que .
Portanto, se , então , mostrando que é simétrica.

Passo 4

Por fim, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se está relacionado com e está relacionado com , então deve estar relacionado com . Suponha que:
e .
Somando essas duas equações:
.
Como a soma de dois números inteiros é também um número inteiro, temos que , ou seja, .
Portanto, é transitiva.

Passo 5

Como é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de equivalência.

Passo 6

Agora, vamos descrever as classes de equivalência [0] = k2 mid k in Z e 2(14 - y) = 12 - 2y in Z .
A classe y = 14 - k2 consiste em todos os números racionais [14] = 14 + k2 mid k in Z tais que é um inteiro. Isso significa que deve ser da forma , onde é um inteiro. Então:
Para a classe , procuramos todos os tais que seja um inteiro. Simplificando:
Isso implica que , onde é um inteiro, então:
Portanto:

Resposta

A relação [0] = k2 mid k in Z é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são:
[14] = 14 + k2 mid k in Z
e

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