Defina uma relação
sobre
, como sendo:
Mostre que
é uma relação de equivalência. Descreva as classes [0] e [(
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma relação
sobre os números racionais
, onde dois números
e
estão relacionados se
for um número inteiro. O conteúdo envolvido aqui é relações de equivalência, e para mostrar que
é uma relação de equivalência, vamos precisar verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Depois, vamos descrever as classes de equivalência de
e
.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é reflexiva. Isso significa que qualquer número
deve estar relacionado consigo mesmo. Vamos ver:
Então,
é verdadeiro para todo
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é simétrica. Isso quer dizer que se
está relacionado com
, então
também deve estar relacionado com
. Se
, temos que:
Mas
, e como a relação envolve números inteiros, isso também implica que
.
Portanto, se
, então
, mostrando que
é simétrica.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se
está relacionado com
e
está relacionado com
, então
deve estar relacionado com
. Suponha que:
Somando essas duas equações:
Como a soma de dois números inteiros é também um número inteiro, temos que
, ou seja,
.
Portanto,
é transitiva.
Passo 5
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência.
Passo 6
Agora, vamos descrever as classes de equivalência
e
.
A classe
consiste em todos os números racionais
tais que
é um inteiro. Isso significa que
deve ser da forma
, onde
é um inteiro. Então:
Para a classe
, procuramos todos os
tais que
seja um inteiro. Simplificando:
Isso implica que
, onde
é um inteiro, então:
Portanto:
Resposta
A relação
é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são:
e