Mostre que é uma relação de equivalência. Descreva as classes [0] e [( .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma relação sobre os números racionais , onde dois números e estão relacionados se for um número inteiro. O conteúdo envolvido aqui é relações de equivalência, e para mostrar que é uma relação de equivalência, vamos precisar verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Depois, vamos descrever as classes de equivalência de e .
Passo 2
Vamos começar verificando se é reflexiva. Isso significa que qualquer número deve estar relacionado consigo mesmo. Vamos ver:
, que é um número inteiro.
Então, é verdadeiro para todo . Portanto, é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é simétrica. Isso quer dizer que se está relacionado com , então também deve estar relacionado com . Se , temos que:
.
Mas , e como a relação envolve números inteiros, isso também implica que .
Portanto, se , então , mostrando que é simétrica.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se está relacionado com e está relacionado com , então deve estar relacionado com . Suponha que:
e .
Somando essas duas equações:
.
Como a soma de dois números inteiros é também um número inteiro, temos que , ou seja, .
Portanto, é transitiva.
Passo 5
Como é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de equivalência.
Passo 6
Agora, vamos descrever as classes de equivalência e .
A classe consiste em todos os números racionais tais que é um inteiro. Isso significa que deve ser da forma , onde é um inteiro. Então:
Para a classe , procuramos todos os tais que seja um inteiro. Simplificando:
Isso implica que , onde é um inteiro, então:
Portanto:
Resposta
A relação é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são: