Considere o conjunto dos números reais R, com a operação boxplus, dada por x boxplus y=x+y-5, para todo x, y in R. Mostre que (R, boxplus) é um grupo. Se a mesma operação for definida sobre os números inteiros Z, teríamos (Z, boxplus) um grupo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto dos números reais, , com uma operação especial chamada (definida por ), forma um grupo. Além disso, queremos saber se o mesmo vale para os números inteiros, , com essa operação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática. Um grupo é um conjunto ligado a uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, elemento identidade e elemento inverso. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Fechamento: Primeiro, precisamos ver se a operação mantém a gente dentro do conjunto . Ou seja, se pego dois números reais e , o resultado de também deve ser um número real.
Como , e a soma e subtração de números reais ainda são reais, a operação fecha no conjunto .

Passo 3

Associatividade: Agora, precisamos checar se a operação é associativa. Isso significa que a ordem como a gente agrupa os números não muda o resultado. Em termos matemáticos, para todos (x boxplus y) boxplus z = x boxplus (y boxplus z) , deve valer:
(x boxplus y) boxplus z = (x + y - 5) boxplus z = (x + y - 5) + z - 5 = x + y + z - 10
Vamos calcular cada lado:
x boxplus (y boxplus z) = x boxplus (y + z - 5) = x + (y + z - 5) - 5 = x + y + z - 10
Como os dois lados são iguais, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento Identidade: O próximo passo é encontrar o elemento identidade x boxplus e = e boxplus x = x que, quando aplicado à operação x boxplus e = x + e - 5 = x implies e - 5 = 0 implies e = 5 , deixa qualquer número real inalterado. Ou seja, para todo :
Vamos resolver para :
Então, o elemento identidade é 5. Isso significa que, se a gente fizer ou , sempre vai dar , mantendo o número inalterado.

Passo 5

Elemento Inverso: Por último, cada elemento x boxplus y = y boxplus x = e = 5 deve ter um inverso x boxplus y = x + y - 5 = 5 implies x + y = 10 implies y = 10 - x tal que:
Vamos encontrar em termos de :
Então, o inverso de qualquer é . Isso garante que, ao somar com seu inverso usando , a gente sempre volta ao elemento identidade .

Passo 6

Conjunto dos Inteiros : Agora, vamos verificar se o mesmo vale para os números inteiros com a operação .
  1. Fechamento: Assim como nos reais, a soma e subtração de inteiros resultam em inteiros, então a operação fecha em .
  2. Associatividade: A associatividade também se mantém, já que é uma propriedade geral da soma e subtração.
  3. Elemento Identidade: O elemento identidade pertence a , então está ok.
  4. Elemento Inverso: Aqui é que podemos ter um problema. O inverso de um inteiro seria . Mas, se for um número inteiro, também será inteiro. Parece que tudo está bem.
No entanto, precisamos considerar se todos os elementos duplo inversos existem dentro do conjunto. Como estamos trabalhando com inteiros e a operação é basicamente uma soma ajustada, os inversos estão garantidos dentro dos inteiros.
Portanto, sim, também forma um grupo.

Resposta

Sim, é um grupo porque satisfaz todas as propriedades necessárias. Além disso, também forma um grupo com a mesma operação.

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