Seja A o conjunto de todas as funções alphaa, b: R longrightarrow R definidas por alphaa, b(x)=a x+b para cada x in R e cada par ordenado de números reais (a, b) com a neq 0. Mostre que (A, circ) é um grupo , com a operação de composição de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto A, formado por todas as funções lineares da forma alphaa, b(x) = a x + b com a neq 0, junto com a operação de composição de funções ( circ), forma um grupo. Isso envolve entender conceitos de Álgebra, especificamente a teoria dos grupos. Vamos precisar verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: Primeiro, vamos ver se ao compor duas funções desse conjunto, o resultado também pertence ao conjunto A. Ou seja, se temos alphaa, b(x) = a x + b e alphac, d(x) = c x + d, a composição alphaa, b circ alphac, d(x) = alphaa, b(alphac, d(x)) também deve ter a forma e x + f com e neq 0.
Calculando:
alphaa, b(alphac, d(x)) = alphaa, b(c x + d) = a (c x + d) + b = a c x + a d + b
Vemos que o resultado é uma função da forma (a c) x + (a d + b). Como a neq 0 e c neq 0, então a c neq 0, então a função resultante também pertence a A. Portanto, A é fechada sob composição.

Passo 3

Associatividade: A composição de funções é sempre uma operação associativa. Ou seja, para quaisquer três funções alpha, beta, e gamma em A, temos:
(alpha circ beta) circ gamma = alpha circ (beta circ gamma)
Já que a ordem de aplicação das funções não altera o resultado final devido à associatividade da multiplicação real e adição, não precisamos testar isso especificamente para A. Portanto, a associatividade está garantida.

Passo 4

Elemento Identidade: Precisamos encontrar uma função alpha1, 0(x) = 1 cdot x + 0 = x que atue como identidade na composição. Vamos verificar:
Para qualquer alphaa, b(x) = a x + b,
alphaa, b circ alpha1, 0(x) = alphaa, b(x) = a x + b
e
alpha1, 0 circ alphaa, b(x) = alpha1, 0(a x + b) = a x + b
Então, alpha1, 0 atua como identidade na composição, deixando qualquer função inalterada.

Passo 5

Existência de Inversos: Para cada função alphaa, b(x) = a x + b, precisamos encontrar uma função inversa alphaa, b^-1(x) tal que:
alphaa, b circ alphaa, b^-1 = alpha1, 0
Vamos resolver para encontrar a forma de alphaa, b^-1(x):
alphaa, b(alphaa, b^-1(x)) = a (alphaa, b^-1(x)) + b = x
Resolvendo para alphaa, b^-1(x):
a (alphaa, b^-1(x)) + b = x implies alphaa, b^-1(x) = x - ba
Então, a função inversa é alphaa, b^-1(x) = 1a x - ba, que também pertence a A porque 1a neq 0.

Resposta

Como verificamos fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos, concluímos que (A, circ) é de fato um grupo.

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