Seja
o conjunto de todas as funções
definidas por
para cada
e cada par ordenado de números reais
com
. Mostre que
é um grupo , com a operação de composição de funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
, formado por todas as funções lineares da forma
com
, junto com a operação de composição de funções (
), forma um grupo. Isso envolve entender conceitos de Álgebra, especificamente a teoria dos grupos. Vamos precisar verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento identidade e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: Primeiro, vamos ver se ao compor duas funções desse conjunto, o resultado também pertence ao conjunto
. Ou seja, se temos
e
, a composição
também deve ter a forma
com
.
Calculando:
Vemos que o resultado é uma função da forma
. Como
e
, então
, então a função resultante também pertence a
. Portanto,
é fechada sob composição.
Passo 3
Associatividade: A composição de funções é sempre uma operação associativa. Ou seja, para quaisquer três funções
,
, e
em
, temos:
Já que a ordem de aplicação das funções não altera o resultado final devido à associatividade da multiplicação real e adição, não precisamos testar isso especificamente para
. Portanto, a associatividade está garantida.
Passo 4
Elemento Identidade: Precisamos encontrar uma função
que atue como identidade na composição. Vamos verificar:
Para qualquer
,
e
Então,
atua como identidade na composição, deixando qualquer função inalterada.
Passo 5
Existência de Inversos: Para cada função
, precisamos encontrar uma função inversa
tal que:
Vamos resolver para encontrar a forma de
:
Resolvendo para
:
Então, a função inversa é
, que também pertence a
porque
.
Resposta
Como verificamos fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos, concluímos que
é de fato um grupo.
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sobre
, como sendo:
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.
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Mostre que
é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalências:
Descreva todas as classes de equivalências de
.
Considere o conjunto dos números racionais positivos
, com a operação
, definida por
, para todo
. Mostre que
é um grupo.
Encontre
, sendo:
e