Seja (G, *) um grupo e u in G. Defina uma nova operação odot sobre G dada por a odot b=a * u * b para todo a, b in G. Podemos afirmar que (G, odot) um grupo?

Passo 1

Então, a gente tem um grupo chamado (G, *) e um elemento u dentro desse grupo. A questão pede pra gente definir uma nova operação, que a gente chama de odot, onde para dois elementos a e b de G, a operação fica assim:
a odot b = a * u * b
A gente quer descobrir se, com essa nova operação odot, (G, odot) também forma um grupo. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um grupo: ele precisa ter fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos para cada elemento. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o fechamento. Fechamento significa que, ao aplicar a operação odot em qualquer dois elementos do grupo G, o resultado também está em G. Como a odot b = a * u * b e sabemos que * já é uma operação de grupo que mantém os elementos dentro de G, então:
a * u * b in G
Portanto, a operação odot é fechada em G.

Passo 3

Agora, vamos verificar a associatividade. Associatividade significa que a ordem em que a gente faz as operações não muda o resultado. Ou seja, para todos a, b, c in G:
(a odot b) odot c = a odot (b odot c)
Vamos calcular os dois lados:
Primeiro, (a odot b) odot c:
(a odot b) odot c = (a * u * b) odot c = (a * u * b) * u * c
Agora, a odot (b odot c):
a odot (b odot c) = a odot (b * u * c) = a * u * (b * u * c)
Para que seja associativo, precisamos que:
(a * u * b) * u * c = a * u * (b * u * c)
Sabemos que a operação * é associativa, então podemos reescrever:
a * u * b * u * c = a * u * b * u * c
Como os dois lados são iguais, a operação odot também é associativa.

Passo 4

Vamos agora encontrar o elemento neutro para a operação odot. O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. Ou seja, existe um e' in G tal que para todo a in G:
a odot e' = a e e' odot a = a
Vamos calcular a odot e':
a odot e' = a * u * e' = a
Para isso acontecer, precisamos que:
u * e' = e
Onde e é o elemento neutro de G para a operação *. Então:
e' = u^-1 * e = u^-1
Da mesma forma, para e' odot a:
e' odot a = e' * u * a = u^-1 * u * a = e * a = a
Então, o elemento neutro para odot é u^-1.

Passo 5

Por último, vamos verificar os inversos. Cada elemento a in G deve ter um inverso a' tal que:
a odot a' = e' e a' odot a = e'
Sabemos que e' = u^-1. Vamos calcular a odot a':
a odot a' = a * u * a' = u^-1
Para resolver isso, precisamos que:
a * u * a' = u^-1
Multiplicando ambos os lados pela inversa de u:
a * u * a' * u^-1 = u^-1 * u^-1 a * e * a' = u^-2 a * a' = u^-2
Então, o inverso de a na operação odot é:
a' = a^-1 * u^-2

Resposta

Sim, (G, odot) é um grupo, onde a operação odot satisfaz todas as propriedades necessárias de um grupo.

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