Seja
um grupo e
. Defina uma nova operação
sobre
dada por
para todo
. Podemos afirmar que
um grupo?
Passo 1
Então, a gente tem um grupo chamado
e um elemento
dentro desse grupo. A questão pede pra gente definir uma nova operação, que a gente chama de
, onde para dois elementos
e
de
, a operação fica assim:
A gente quer descobrir se, com essa nova operação
,
também forma um grupo. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um grupo: ele precisa ter fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos para cada elemento. Vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o fechamento. Fechamento significa que, ao aplicar a operação
em qualquer dois elementos do grupo
, o resultado também está em
. Como
e sabemos que
já é uma operação de grupo que mantém os elementos dentro de
, então:
Portanto, a operação
é fechada em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a associatividade. Associatividade significa que a ordem em que a gente faz as operações não muda o resultado. Ou seja, para todos
:
Vamos calcular os dois lados:
Primeiro,
:
Agora,
:
Para que seja associativo, precisamos que:
Sabemos que a operação
é associativa, então podemos reescrever:
Como os dois lados são iguais, a operação
também é associativa.
Passo 4
Vamos agora encontrar o elemento neutro para a operação
. O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. Ou seja, existe um
tal que para todo
:
Vamos calcular
:
Para isso acontecer, precisamos que:
Onde
é o elemento neutro de
para a operação
. Então:
Da mesma forma, para
:
Então, o elemento neutro para
é
.
Passo 5
Por último, vamos verificar os inversos. Cada elemento
deve ter um inverso
tal que:
Sabemos que
. Vamos calcular
:
Para resolver isso, precisamos que:
Multiplicando ambos os lados pela inversa de
:
Então, o inverso de
na operação
é:
Resposta
Sim,
é um grupo, onde a operação
satisfaz todas as propriedades necessárias de um grupo.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto dos números reais
, com a operação
, dada por
, para todo
. Mostre que
é um grupo. Se a mesma operação for definida sobre os números inteiros
, teríamos
um grupo?
Encontre
, sendo:
e
Calcule o produto vetorial entre
e
Determine todas as relações de equivalências sobre o conjunto
.