Considere o conjunto , onde e são vetores em , e é a unidade imaginária.
(a) Mostre que é linearmente dependente sobre o corpo dos números complexos .
(b) Mostre que é linearmente independente sobre o corpo dos números reais .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores onde e em . O que a gente vai fazer aqui é verificar se esse conjunto é linearmente dependente ou independente sobre os corpos dos números complexos e dos números reais . Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso quer dizer que existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): mostrar que é linearmente dependente sobre . Isso significa que vamos procurar escalares e em , não ambos zero, que satisfazem:
Onde é o vetor zero em .
Passo 4
Escrevendo isso componente por componente, temos:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Passo 5
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Passo 6
A última equação nos mostra que qualquer satisfaz a igualdade, desde que . Isso significa que existe uma combinação não trivial de e que resulta no vetor zero, ou seja, é linearmente dependente sobre .
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): mostrar que é linearmente independente sobre . Aqui, os escalares e são números reais. Vamos repetir o processo, mas agora considerando que .
Passo 8
Escrevendo novamente as equações:
Agora, igualamos as partes reais e imaginárias separadamente, já que estamos trabalhando com números reais.
Passo 9
Da primeira equação, separando real e imaginário:
Passo 10
Com , da equação temos . Agora, verificamos a segunda equação:
Substituindo e :
Tudo se confirma.
Passo 11
Como a única solução para e sendo reais é o trivial , isso significa que não existe uma combinação não trivial que gere o vetor zero. Portanto, é linearmente independente sobre .